1. Hoán vị là gì?

Nếu tách riêng nghĩa từng từ ra, tất cả chúng ta có thể hiểu đơn giản rằng “hoán” trong từ hoán đổi và “vị” trong từ vị trí.

Bạn Đang Xem: Hoán Vị – Chỉnh Hợp – Tổ Hợp: Công Thức Và Các Dạng Bài Tập

Ta cho một tập hợp X gồm n thành phần phân biệt với n ≥ 0. Mỗi một cách sắp xếp n thành phần của X theo trật tự nào đó thì được gọi là một hoán vị của n thành phần.

Số các hoán vị của n thành phần được ký hiệu là Pn.

2. Tổng hợp là gì?

Trong Khóa học Toán học, tổng hợp là cách ta chọn những thành phần từ một nhóm to ra nhiều thêm mà không phân biệt trật tự. Trong một vài trường hợp tất cả chúng ta còn tồn tại thể đếm được số tổng hợp.

Tổng hợp chập k của n thành phần được hiểu là số những nhóm gồm k thành phần được lấy ra từ n thành phần, mà giữa chúng chỉ khác nhau về thành phần kết cấu chứ không quan trọng về trật tự sắp xếp các thành phần.

Với mỗi một tập con gồm k thành phần của tập hợp gồm n thành phần (n > 0) được gọi là một tổng hợp chập k của n.

3. Chỉnh hợp là gì?

Chỉnh hợp là cách chọn những thành phần từ một nhóm to ra nhiều thêm và có phân biệt trật tự, trái với tổng hợp là không phân biệt trật tự.

Chỉnh hợp chập k của n thành phần là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n thành phần. Tập con này gồm k thành phần riêng biệt thuộc S và có sắp xếp theo trật tự.

4. Quan hệ giữa tổng hợp, chỉnh hợp và hoán vị

Thông qua khái niệm, tất cả chúng ta có thể thấy tổng hợp, chỉnh hợp và hoán vị có một mối liên hệ với nhau.

Cụ thể một chỉnh hợp chập k của n được tạo thành bằng phương pháp thực hiện 2 bước như sau:

• Bước 1: Lấy 1 tổng hợp chập k của n thành phần.

• Bước 2: Hoán vị k thành phần.

Xem Thêm : Lễ ăn hỏi là gì? trình tự của lễ ăn hỏi chuẩn nhất cho ngày trọng đại

Do đó tất cả chúng ta có công thức liên hệ giữa chỉnh hợp, tổng hợp, hoán vị như sau:

$A^{k}n=C^{k}nP_{k}$

Tổng hợp, chỉnh hợp và hoán vị là những tri thức có thể xuất hiện trong một số đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán trong khoảng thời gian qua. Chính vì vậy đây là phần tri thức mà các em học trò cũng phải phải nắm được trong quá trình ôn thi. Đăng ký ngay để được những Chuyên Viên VUIHOC tư vấn, hướng dẫn và lên lộ trình ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán một cách hiệu quả và khoa học nhất.

5. Công thức tính hoán vị – chỉnh hợp – tổng hợp

5.1. Công thức tính chỉnh hợp

Theo những khái niệm nêu trên, ta có số chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n thành phần với $1leq kleq n$ với công thức:

$A^{k}n=frac{n!}{(n-k)!}=n.(n-1)(n-2)…(n-k+1)$

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp ba bạn Hưng, Hoàng, Hiếu vào hai chỗ ngồi cho trước?

Giải: $A_{3}^{2}=frac{3!}{(3-2)!}=3!=6$ cách

Ví dụ 2: Sẽ sở hữu được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số (1,2,3,4,5,6,7)?

Giải: Ta có mỗi một số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập bằng phương pháp lấy ra từ 4 chữ số từ tập A={1;2;3;4;5;6;7} và sắp xếp chúng theo trật tự nhất định. Mỗi số như vậy sẽ tiến hành xem như là một chỉnh hợp chập 4 của 7 thành phần.

Vậy số các số cần tìm là các số: $A_{7}^{4}$=840 số

5.2. Công thức tổng hợp, ví dụ về tổng hợp

Ta có tổng hợp chập k của n thành phần ($1leq kleq n$) là :

$C^{k}n=frac{n!}{k!(n-k)!}=frac{n(n-1)(n-2)…(n-k+1)}{k!}$

Trong số đó có kn và có kết quả bằng 0 khi có k > n.

Ví dụ 1: Ông A có 11 người bạn. Ông A muốn mời 5 người trong họ đi chơi. Trong 11 người dân có 2 người không muốn họp mặt nhau. Hỏi ông A có bao nhiêu cách mời?

Xem Thêm : Solar Panel là gì? Phân loại tấm pin năng lượng mặt trời (2023)

Giải: Ông A chỉ mời 1 trong 2 người bạn đó và mời thêm 4 trong số 9 người bạn sót lại, ta có: $2.C_{4}^{9}$=252

Ông A không mời 2 người bạn này mà chỉ mời 5 trong số 9 người bạn kia, ta có: $C_{5}^{9}$=126

Như vậy tổng số ông A có 252+126=378 cách mời.

Ví dụ 2: Một bàn học tập sinh có 3 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách lựa chọn ra 2 bạn để làm trực nhật?

Mỗi một cách lựa chọn ra 2 bạn để làm thuê việc trực nhật là một tổng hợp chập 2 của 5 thành phần. Vậy tất cả chúng ta có số cách chọn là: $C_{5}^{2}$=10.

>> Xem thêm: Công thức tính tổng hợp xác suất và các dạng bài tập

5.3. Công thức tính hoán vị

Ở công thức hoán vị rất đơn giản, khi cho tập hợp gồm n thành phần (n > 0), tất cả chúng ta đã sở hữu công thức hoán vị của n thành phần đã cho là:

Pn=n!

Ví dụ 1: Cho một tập hợp A = {3, 4, 5, ,6, 7}. Từ tập hợp A tất cả chúng ta có thể lập được bao nhiêu số gồm có 5 chữ số phân biệt?

Giải: Vận dụng theo công thức $P_{n}$=n! ta có: $P_{5}$=5!=120 số

Ví dụ 2: Hãy tính số cách xếp 10 bạn học trò thành một hàng dọc.

Giải: Mỗi cách xếp 10 bạn học trò thành hàng dọc là một hoán vị của 10 thành phần.

Vậy số cách xếp bạn học trò thành một hàng dọc là $P_{10}$=10!

VUIHOC đã hỗ trợ các em nắm rõ hơn về lý thuyết công thức tổng hợp chỉnh hợp cũng như hoán vị. Sát đó, nền tảng học trực tuyến Vuihoc.vn có những khóa học và ôn thi ĐH giành riêng cho học trò lớp 11, các em có thể đăng ký khóa học để bổ sung thêm nhiều tri thức hữu ích của môn Toán nhé! Chúc các bạn học tập thật tốt.

>> Xem thêm: Hoán vị gen là gì? Ý nghĩa, quy luật liên kết và bài tập