8 SEP 2018 • 11 mins read

Bạn Đang Xem: Identity Matrix Là Gì – Tra Từ &#39Identity Matrix&#39

Với số nguyên dương (n), tập hợp tất cả những ma trận kích thước (n imes n) được đóng kín dưới phép toán cộng và nhân, tạo thành một vành không giao hoán. Khái niệm phép toán và nhân ma trận không được đề cập ở đây.

Đang xem: Identity matrix là gì

Transpose Matrix

Nếu đổi hàng thành cột, cột thành hàng của ma trận A ta được ma trận chuyển vị (aka transpose matrix), ký hiệu là (A^T)

Có thể chứng minh được rằng:

<(AB)^T = B^TA^Tvàgt;

Determinant

Cho (A) là một ma trận vuông kích thước (n imes n). Ma trận con (submatrix) của (A) tương ứng với thành phần (a_{i,j}), ký hiệu là (M_{i,j}) được suy ra bằng phương pháp bỏ hàng (i) và cột (j) trong ma trận (A). Định thức của ma trận này gọi là định thức con (minor).

Định thức của (A), ký hiệu (vert Avert) được khái niệm đệ quy như sau:

Nếu (n = 1), (vert Avert = A_{1, 1}) Nếu (n > 1),

(tự chọn dòng (i) bất kỳ).

Biểu thức ((-1)^{i+j}vert M_{i,j}vert) còn được gọi là phụ đại số (cofactor) của thành phần (a_{i,j}), ký hiệu (C_{i,j}). Như vậy, công thức tính định thức ma trận (A) có thể phát biểu gọn: “Định thức ma trận (A) bằng tổng các ‘tích phụ đại số với thành phần tương ứng’ trên một hàng hoặc một cột bất kỳ.”

Tính chất

(vert Avert = vert A^Tvert). Hệ quả: nếu một tính chất đã đúng với hàng của định thức thì nó cũng đúng với cột. Đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) làm đổi dấu định thức. Một định thức có dòng toàn số 0 thì bằng 0. Nhân các thành phần của một hàng hoặc một cột với một hằng số (k) thì được định thức mới có mức giá trị bằng định thức cũ nhân với (k). Tips: Khi một dòng / cột có ước chung, ta có thể đưa ước chung đó ra ngoài dấu định thức. Cộng bội (k) của một hàng vào một trong những hàng khác giữ nguyên giá trị định thức. Nếu (A) và (B) là hai ma trận vuông cùng cấp, thì (vert ABvert = vert Avert vert Bvert)

Nếu (A) có dạng sau:

Ma trận tam giác trên: (egin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & dots & a_{1,n} 0 & a_{2,2} & dots & a_{2,n} vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & dots & a_{n,n} end{bmatrix})

Ma trận tam giác dưới: (egin{bmatrix} a_{1,1} & 0 & dots & 0 a_{2,1} & a_{2,2} & dots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots a_{n,1} & a_{n,2} & dots & a_{n,n} end{bmatrix})

Thì (vert Avert = prod^n_{i=1} a_{i,i}) (tích các số trên tuyến đường chéo chính)

Như vậy, thông thường để tính định thức ta dùng các tính chất để chuyển đổi sang các định thức tương đương và đưa về ma trận tam giác rồi tính cho dễ.

Inverse Matrix

Identity Matrix

Ma trận đơn vị (thường ký hiệu là (I), aka identity matrix) là một ma trận vuông trong đó tất cả những số trên tuyến đường chéo chính bằng 1, các thành phần sót lại bằng 0.

Cho (A) là một ma trận cùng cấp với (I), ta luôn có:

Invertible Matrix

Xem Thêm : Scoby là gì? Cách nuôi Scoby trong trà Kombucha đảm bảo thành công 100%

Xét (A) là một ma trận vuông cấp (n), nếu tồn tại một ma trận (B) cùng cấp sao cho (AB = BA = I) thì (B) được gọi là ma trận nghịch đảo của (A). Lúc đó ta nói (A) khả đảo (inversible) và không suy biến (non-degenerate)

Adjugate Matrix

Ma trận phụ đại số:

với (C_{i,j}) là phụ đại số tương ứng với thành phần (a_{i,j}) trong ma trận (A).

Ma trận (C^T) (ma trận chuyển vị của (C)) gọi là ma trận liên hợp (adjoint matrix).

Inverse Matrix

Ma trận nghịch đảo của (A), ký hiệu (A^{-1}), được tính như sau:

Nhập cuộc cần và đủ để tồn tại (A^{-1}) là (vert Avert eq 0)

Tính chất

Giả sử (A) và (B) là hai ma trận vuông cùng cấp (n) và khả đảo. Khi đó:

Tích (AB) cũng khả đảo, và ((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}). (A^{-1}) cũng khả đảo, và ((A^{-1})^{-1} = A). (A^m) cũng khả đảo, và ((A^m)^{-1} = (A^{-1})^m). (kA) cũng khả đảo ((k eq 0)), và ((kA)^{-1}=frac{1}{k}A^{-1})

Linear System

Hệ phương trình tuyến tính là một hệ (m) phương trình đại số số 1 và (n) ẩn số:

Nếu (m=n) ta có hệ vuông (square system) với (n) phương trình (n) ẩn. Khi tất cả (b_i=0) ta có hệ phương trình thuần nhất (homogeneous system).

Hệ phương trình trên có thể được viết lại thành một phương trình giữa các ma trận: (Ax = b), với:

Nếu một hệ vuông có (vert Avert eq 0) thì hệ này được gọi là hệ Cramer. Nghiệm duy nhất của hệ Cramer bằng:

Gauss-Jordan Elimination

Augmented Matrix

Ma trận bổ sung (augmented matrix) được hình thành bằng phương pháp ghép (A) và (b) thành một ma trận mới có dạng:

>

Elementary Row Operations

Khi thực hiện các phép chuyển đổi sau lên ma trận (M) sẽ không còn làm thay đổi kết quả của hệ, gọi là phép chuyển đổi hàng sơ cấp:

Đổi chỗ hai hàng Nhân một hàng với một số khác 0 Cộng bội (k) của một hàng vào một trong những hàng khác

Giải hệ vuông

Phương pháp Gauss là phương pháp giải hệ vuông bằng phương pháp đưa (M) về dạng tam giác trên. Khi đó, hệ có thể giải một cách đơn giản từ (x_n) dần về (x_1).

Phương pháp Gauss-Jordan có sự khác biệt nhỏ: sau lúc đưa (M) về dạng tam giác trên, ta tiếp tục đưa nó về dạng ma trận đơn vị.

Xem thêm: Maverick Là Gì – Nghĩa Của Từ Maverick

Tìm ma trận nghịch đảo

Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo của (A):

Ứng dụng phép chuyển đổi sơ cấp hàng lên (M) để lấy ma trận bên trái về (I). Lúc này, ma trận bên phải là (A^{-1}).

Hệ thuần nhất

Xem Thêm : Đau thần kinh tọa

Hệ thuần nhất luôn có nghiệm (x = <0 0 dotsvàgt;^T). Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường (trivial solution). Tuy nhiên tất cả chúng ta thường quan tâm đến nghiệm không tầm thường (non-trivial). Nhập cuộc cần và đủ để hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường là (vert Avert =0). Vì nếu (vert Avert eq 0) thì hệ đã có nghiệm duy nhất, và đó chỉ là nghiệm tầm thường.

Rank

Ma trận vuông cấp (k) suy từ (A) bằng phương pháp bỏ đi (m-k) hàng và (n-k) cột gọi là ma trận con cấp (k) của (A). Định thức của ma trận này gọi là định thức con cấp (k) của (A). Theo khái niệm, hạng của (A), ký hiệu (mathrm{rank}(A)) hoặc ( ho(A)), là cấp cực tốt của một định thức con khác 0 trong (A).

Tuy nhiên trong thực hiện tất cả chúng ta hiếm khi sử dụng khái niệm này để tính hạng của ma trận. Thay vào đó, ta dùng các phép chuyển đổi hàng sơ cấp lên (A) để lấy nó về dạng bậc thang. Các phép chuyển đổi này sẽ không làm thay đổi hạng của ma trận.

Ma trận bậc thang theo hàng (row echelon form) được khái niệm như sau:

Các hàng khác 0 luôn nằm trên hàng 0 Giữa hai hàng khác 0, thành phần trước nhất khác 0 của hàng (gọi là pivot) trên phải nằm cạnh sát trái so với thành phần trước nhất khác 0 của hàng dưới. Các cột có chứa pivot được gọi là pivot column

Ví dụ:

là một ma trận bậc thang

Tính chất:

Hạng của ma trận bậc thang bằng số dòng khác 0 của nó Mỗi hàng (khác hàng 0) đều sở hữu một pivot

Kronecker – Capelli Theorem

Xét ma trận bổ sung (M = ) và hệ tuyến tính (m) phương trình (n) ẩn, viết gọn là (Ax=b). Nhập cuộc cần và đủ để hệ có nghiệm là:

< ho(A) = ho(M) = kvàgt;

Khi đó, nếu (k n).

Minh họa (giả sử (M) đã được đưa về row echelon form):

(k

Do số phương trình thấp hơn số ẩn nên hệ có vô số nghiệm. Tức là, sẽ sở hữu được:

(n-k) ẩn phụ, hay còn gọi là biến độc lập (independent/không lấy phí variable): chúng đóng vai trò như thông số, mang giá trị tự do, và (k) ẩn chính, hay còn gọi là biến phụ thuộc (dependent variable): giá trị của chúng sẽ tiến hành tìm theo ẩn phụ.

Gọi ({j_1, dots, j_n}) là các pivot column, khi đó ({x_{j_1}, dots, x_{j_n}}) là các ẩn chính, và những biến sót lại là ẩn phụ.

Nếu ta chuyển các ẩn phụ sang vế phải và giữ các ẩn chính vế trái, ta sẽ sở hữu được một hệ con chính với (k) phương trình chính.

(k = n), hệ đã cho tương đương với hệ sau: (k > n) không xẩy ra vì hạng của một ma trận không to ra nhiều thêm số dòng và số cột của nó.

Xem thêm: Cập Nhật Cách Tải Liên Quân Đài Loan, Vô Cùng Đơn Giản, Nhanh Chóng

Lưu ý: Khi tìm hạng của (M), mặc dù các phép chuyển đổi cột cũng cho ra kết quả mong muốn, song ma trận bậc thang cuối cùng có thể không sử dụng được cho hệ phương trình. Chính vì thế, cách tốt nhất là chỉ dùng phép chuyển đổi sơ cấp hàng để lấy (M) về dạng bậc thang, tóm lại hạng của (M), tóm lại số nghiệm, sử dụng ma trận bậc thang tìm được để hình thành hệ phương trình mới (minh họa ở trên), và giải tìm nghiệm. Làm như vậy sẽ không còn có động tác thừa trong quá trình làm bài.