Định thức, trong đại số tuyến tính, là một hàm cho từng ma trận vuông A, tương ứng với số vô hướng, ký hiệu là det(A). Ý nghĩa hình học của định thức là tỷ lệ xích cho thể tích khi A được xem như là một chuyển đổi tuyến tính. Định thức được sử dụng để giải (và biện luận) các hệ phương trình đại số tuyến tính.

Bạn Đang Xem: Định thức là gì? Định nghĩa, ký hiệu, công thức định thức mới nhất 2023 | LADIGI

Định thức chỉ được xác định trong các ma trận vuông. Nếu định thức của một ma trận bằng 0, ma trận này được gọi là ma trận suy biến, nếu định thức bằng 1, ma trận này được gọi là ma trận đơn môđula.

Định thức và hệ phương trình đại số tuyến tính

Khái niệm định thức xuất hiện trước tiên gắn với việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn. Hệ này còn có một nghiệm duy nhất lúc và chỉ khi định thức của ma trận tương ứng với hệ phương trình này khác 0.

Ví dụ hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn:

{

a . x + b . y = e ,

c . x + d . y = f ,

{displaystyle {begin{cases}a.x+b.y=e,c.x+d.y=f,end{cases}}}

có những hệ số của không ít ẩn tạo thành ma trận vuông:

A =

[

a

b

c

d

]

{displaystyle A={begin{bmatrix}avàamp;bcvàamp;dend{bmatrix}}}

định thức của nó là:

det(A)=ad–bc.

Nếu det(A) khác 0, hệ có nghiệm duy nhất

x =

e d − b f

a d − b c

; y =

a f − c e

a d − b c

{displaystyle x={frac {ed-bf}{ad-bc}};;;y={frac {af-ce}{ad-bc}}}

.

Nếu det(A) = 0 hệ có thể có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào.

Nếu e = f = 0, hệ trên là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nó luôn có ít nhất một nghiệm tầm thường là x = 0 và y = 0. Khi đó hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của hệ bằng không.

Định thức của ma trận vuông cấp n

Cho ma trận vuông cấp n:

A =

[

a

1 , 1

a

1 , 2

a

1 , 3

⋯

a

1 , n

a

2 , 1

a

2 , 2

a

2 , 3

⋯

a

2 , n

a

3 , 1

a

3 , 2

a

3 , 3

⋯

a

3 , n

⋅

⋅

⋅

⋯

⋅

a

n , 1

a

n , 2

a

n , 3

⋯

a

n , n

]

{displaystyle A={begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&cdots &a_{1,n}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&cdots &a_{2,n}a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&cdots &a_{3,n}cdot &cdot &cdot &cdots &cdot a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&cdots &a_{n,n}end{bmatrix}}}

Khái niệm định thức

Khái niệm của định thức trong đại số tuyến tính liên quan đến khái niệm dấu của hoán vị.

Định thức của ma trận vuông cấp n là tổng đại số của n! (n giai thừa) số hạng, mỗi số hạng là tích của n thành phần lấy trên các hàng và các cột khác nhau của ma trận A, mỗi tích được nhân với thành phần dấu là +1 hoặc -1 theo phép thế tạo bởi các chỉ số hàng và chỉ số cột của không ít thành phần trong tích. Gọi Sn là nhóm các hoán vị của n thành phần 1,2,…,n ta có:(Công thức Leibniz)[1]

det ( A ) =

∑

σ ∈

S

n

sgn ⁡ ( σ )

∏

i = 1

n

a

i , σ ( i )

{displaystyle det(A)=sum _{sigma in S_{n}}operatorname {sgn}(sigma )prod _{i=1}^{n}a_{i,sigma (i)}}

Định thức của một ma trận vuông còn được viết như sau

d e t A =

|

a

1 , 1

a

1 , 2

a

1 , 3

⋯

a

1 , n

a

2 , 1

a

2 , 2

a

2 , 3

⋯

a

2 , n

a

3 , 1

a

3 , 2

a

3 , 3

⋯

a

3 , n

⋅

⋅

⋅

⋯

⋅

a

n , 1

a

n , 2

a

n , 3

⋯

a

n , n

|

{displaystyle detA={begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&cdots &a_{1,n}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&cdots &a_{2,n}a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&cdots &a_{3,n}cdot &cdot &cdot &cdots &cdot a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&cdots &a_{n,n}end{vmatrix}}}

Vận dụng với những ma trận vuông cấp 1,2,3 ta có:

det

[

a

]

= a

{displaystyle det {begin{bmatrix}aend{bmatrix}}=a}

det

[

a

11

a

12

a

21

a

Xem Thêm : Such As Là Gì? As Such Là Gì? Such A Dùng Như Thế Nào?

22

]

=

|

a

11

a

12

a

21

a

Xem Thêm : Such As Là Gì? As Such Là Gì? Such A Dùng Như Thế Nào?

22

|

=

a

11

a

Xem Thêm : Such As Là Gì? As Such Là Gì? Such A Dùng Như Thế Nào?

22

−

a

12

a

21

{displaystyle det {begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}a_{21}&a_{22}end{bmatrix}}={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}a_{21}&a_{22}end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}

det

[

a

11

a

12

a

13

a

21

a

Xem Thêm : Such As Là Gì? As Such Là Gì? Such A Dùng Như Thế Nào?

22

a

23

a

31

a

32

a

33

]

=

|

a

11

a

12

a

13

a

21

a

Xem Thêm : Such As Là Gì? As Such Là Gì? Such A Dùng Như Thế Nào?

22

a

23

a

31

a

32

a

33

|

=

a

11

a

Xem Thêm : Such As Là Gì? As Such Là Gì? Such A Dùng Như Thế Nào?

22

a

33

+

a

12

a

23

a

31

+

a

13

a

21

a

32

−

a

13

a

Xem Thêm : Such As Là Gì? As Such Là Gì? Such A Dùng Như Thế Nào?

22

a

31

−

a

12

a

21

a

33

−

a

11

a

23

a

32

{displaystyle det {begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}a_{21}&a_{22}&a_{23}a_{31}&a_{32}&a_{33}end{bmatrix}}={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}a_{21}&a_{22}&a_{23}a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}}{displaystyle =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}}}

Các ứng dụng

Các định thức được dùng làm kiểm tra các ma trận có ma trận nghịch đảo không (các ma trận khả nghịch khi và chỉ khi chúng là các ma trận có định thức khác 0) và để trình diễn nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính qua định lý Cramer. chúng được dùng làm tìm các vectơ riêng của ma trận

Xem Thêm : LGBT là gì, ý nghĩa lá cờ LGBT và những điều có thể bạn chưa biết

A

{displaystyle A}

qua đa thức đặc trưng

p ( x ) = det ( x I − A )

{displaystyle p(x)=det(xI-A),}

Trong số đó, I là ma trận đơn vị (identity matrix) có cùng kích thước với A.

Người ta còn xem định thức như thể hàm xác định trên lên các bộ

n

{displaystyle n}

vectơ trong không gian

R

n

{displaystyle mathbb {R} ^{n}}

, toạ độ của n vectơ này tạo thành n cột (hoặc n dòng) của một ma trận vuông. Khi đó, dấu của định thức của một cơ sở có thể được dùng làm khái niệm khái niệm hướng của không ít cơ sở trong không gian Euclide. Nếu định thức của một cơ sở là dương thì ta nói các vectơ này tạo thành một cơ sở thuận chiều, và nếu định thức của chúng là âm thì nó tạo thành cơ sở ngược chiều.

Các định thức còn được dùng làm tính thể tích trong giải tích vectơ: Giá trị tuyệt đối của định thức của không ít vectơ trên trường số thực thì bằng với thể tích của hình hộp tạo ra bởi các vectơ đó. Như thể một hệ quả, nếu một ánh xạ tuyến tính

f :

R

n

→

R

n

{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}rightarrow mathbb {R} ^{n}}

được đặc trưng bởi ma trận

Xem Thêm : LGBT là gì, ý nghĩa lá cờ LGBT và những điều có thể bạn chưa biết

A

{displaystyle A}

, và

S

{displaystyle S}

là tập con đo được bất kì của

R

n

{displaystyle mathbb {R} ^{n}}

, thì thể tích của

f ( S )

{displaystyle f(S)}

được cho bởi

|

det ( A )

|

× volumes ⁡ ( S )

{displaystyle left|det(A)right|times operatorname {volumes} (S)}

.

Một cách tổng quát hơn, nếu ánh xạ tuyến tính

f :

R

n

→

R

m

{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}rightarrow mathbb {R} ^{m}}

đặc trưng bởi một ma trận

Xem Thêm : LGBT là gì, ý nghĩa lá cờ LGBT và những điều có thể bạn chưa biết

A

{displaystyle A}

m x n, và

S

{displaystyle S}

là tập con bất kì đo được nào của

R

n

{displaystyle mathbb {R} ^{n}}

, thì thể tích n-chiều của

f ( S )

{displaystyle f(S)}

được tính bởi

det (

Xem Thêm : LGBT là gì, ý nghĩa lá cờ LGBT và những điều có thể bạn chưa biết

A

⊤

A )

× volume ⁡ ( S )

{displaystyle {sqrt {det(A^{top }A)}}times operatorname {volume} (S)}

. Bằng phương pháp tính thể tích của tứ diện có 4 đỉnh, chúng có thể được dùng làm nhận diện (xác định) các đường ghềnh

Thể tích của tứ diện bất kì, cho bởi các đỉnh a, b, c, và d, là (1/6)·|det(a−b, b−c, c−d)|.

Ví dụ

Tìm định thức của ma trận:

A =

[

− 2

2

− 3

− 1

1

3

2

− 1

]

{displaystyle A={begin{bmatrix}-2vàamp;2vàamp;-3-1vàamp;1vàamp;32vàamp;0vàamp;-1end{bmatrix}}}

Cách 1: Sử dụng công thức Leibniz

det ( A )

{displaystyle det(A),}

=

{displaystyle =,}

( − 2 ) ⋅ 1 ⋅ ( − 1 ) + 2 ⋅ 3 ⋅ 2 + ( − 3 ) ⋅ ( − 1 ) ⋅ 0

{displaystyle (-2)cdot 1cdot (-1)+2cdot 3cdot 2+(-3)cdot (-1)cdot 0}

− 2 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) − ⋅ 3 ⋅ ( − 2 ) − ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ⋅ 2

{displaystyle -2cdot 1cdot (-3)-0cdot 3cdot (-2)-(-1)cdot (-1)cdot 2}

=

{displaystyle =,}

2 + 12 + + 6 − 2 = 18

{displaystyle 2+12+0+6-2=18,}

Cách 2: Sử dụng công thức Laplace để triển khai định thức theo một hàng hoặc một cột. Cách tốt nhất là chọn hàng, hoặc cột nào có nhiều thành phần bằng 0, vì như vậy, giá trị định thức của thành phần này sẽ bằng 0 (

Xem Thêm : LGBT là gì, ý nghĩa lá cờ LGBT và những điều có thể bạn chưa biết

A

i , j

×

C

i , j

=

×

C

i , j

=

{displaystyle A_{i,j}times C_{i,j} = 0times C_{i,j} = 0}

) vì thế ta sẽ triển khai theo cột thứ hai.

det ( A )

{displaystyle det(A),}

=

{displaystyle =,}

( − 1

)

1 + 2

⋅ 2 ⋅ det

[

− 1

3

2

− 1

]

+ ( − 1

)

2 + 2

⋅ 1 ⋅ det

[

− 2

− 3

2

− 1

]

{displaystyle (-1)^{1+2}cdot 2cdot det {begin{bmatrix}-1vàamp;32vàamp;-1end{bmatrix}}+(-1)^{2+2}cdot 1cdot det {begin{bmatrix}-2vàamp;-32vàamp;-1end{bmatrix}}}

=

{displaystyle =,}

( − 2 ) ⋅ ( ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ 3 ) + 1 ⋅ ( ( − 2 ) ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ ( − 3 ) )

{displaystyle (-2)cdot ((-1)cdot (-1)-2cdot 3)+1cdot ((-2)cdot (-1)-2cdot (-3))}

=

{displaystyle =,}

( − 2 ) ( − 5 ) + 8 = 18.

{displaystyle (-2)(-5)+8=18.,}

Cách 3: Sử dụng phép khử Gauss, bằng việc vận dụng các tính chất của định thức, chuyển đổi các cột, hoặc hàng thành dạng đơn giản, như chứa thành phần bằng 0, sau đó tính định thức theo hàng, cột đó.

[

2

− 3

1

3

2

− 1

]

{displaystyle {begin{bmatrix}0vàamp;2vàamp;-3vàamp;1vàamp;32vàamp;0vàamp;-1end{bmatrix}}}

và định thức sẽ tiến hành tính nhanh khi triển khai theo cột trước tiên:

det ( A )

{displaystyle det(A),}

=

{displaystyle =,}

( − 1

)

1 + 3

⋅ 2 ⋅ det

[

2

− 3

1

3

]

{displaystyle (-1)^{1+3}cdot 2cdot det {begin{bmatrix}2vàamp;-31vàamp;3end{bmatrix}}}

=

{displaystyle =,}

2 ⋅ ( 2 ⋅ 3 − 1 ⋅ ( − 3 ) ) = 2 ⋅ 9 = 18.

{displaystyle 2cdot (2cdot 3-1cdot (-3))=2cdot 9=18.,}

…== Các tính chất và phép chuyển đổi trên các hàng và các cột của định thức == Cho ma trận A vuông cấp n:

1. Định thức của A bằng không nếu một trong các tham gia sau xẩy ra:
   1. A có tất cả những thành phần trên một hàng (hoặc một cột) bằng 0;
   2. A có hai hàng (hoặc hai cột) tỷ lệ;
   3. Tổng quát: A có một hàng (hoặc một cột) là tổng hợp tuyến tính của không ít hang (hoặc các cột) khác.
2. Trên các hàng và các cột của A có thể thực hiện các phép chuyển đổi sau:
   1. Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) khác nhau thì định thức đổi dấu;
   2. Nếu nhân một hằng số a vào trong 1 hàng (hoặc một cột) của A thì định thức của ma trận cuối sẽ là a.det(A);
   3. Nếu nhân một số a ≠0 vào trong 1 hàng (hoặc một cột) của A, và cộng hàng (hoặc cột) này vào một hàng (hoặc một cột) khác thì giá trị của định thức sẽ không còn đổi

Định thức và các phép toán trên ma trận

• det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) = det ( B ) det ( A )

  {displaystyle det(AB)=det(A)det(B)=det(B)det(A),}

  với mọi ma trận khả tích n–n

  Xem Thêm : LGBT là gì, ý nghĩa lá cờ LGBT và những điều có thể bạn chưa biết

  A

  {displaystyle A}

  và

  B

  {displaystyle B}

  .

Từ đó

det ( r

I

n

) =

r

n

{displaystyle det(rI_{n})=r^{n},}

và

det ( r A ) = det ( r

I

n

⋅ A ) =

r

n

det ( A )

{displaystyle det(rA)=det(rI_{n}cdot A)=r^{n}det(A),}

với mọi ma trận

n

{displaystyle n}

–

n

{displaystyle n}

Xem Thêm : LGBT là gì, ý nghĩa lá cờ LGBT và những điều có thể bạn chưa biết

A

{displaystyle A}

và mọi số

r

{displaystyle r}

.

• Ma trận

  Xem Thêm : LGBT là gì, ý nghĩa lá cờ LGBT và những điều có thể bạn chưa biết

  A

  {displaystyle A}

  trên một trường là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khác 0, trong trường hợp này ta có:

det (

Xem Thêm : LGBT là gì, ý nghĩa lá cờ LGBT và những điều có thể bạn chưa biết

A

− 1

) = det ( A

)

− 1

{displaystyle det(A^{-1})=det(A)^{-1},}

• Ma trận vuông A và ma trận chuyển vị AT của nó có định thức bằng nhau:

det (

Xem Thêm : LGBT là gì, ý nghĩa lá cờ LGBT và những điều có thể bạn chưa biết

A

⊤

) = det ( A )

{displaystyle det(A^{top })=det(A),}

.

Tham khảo

Thư mục

• Nguyễn Hữu Việt Hưng, 1999, Đại số tuyến tính