Tập hợp Z hay còn gọi là tập hợp số nguyên là một tập hợp số tự nhiên phổ thông trong toán học. Nội dung bài viết tại đây IMO2007 sẽ trình bày tới những bạn học trò rõ ràng và cụ thể về khái niệm, các tập hợp con của Z và một số bài toán vận dụng.

Bạn Đang Xem: Tập hợp Z là gì, số nguyên là gì? Ví dụ & bài tập mẫu

Tập hợp Z là gì?

Tập hợp Z được khái niệm một cách đơn giản là có thể viết được mà không có thành phần phân số. Tập hợp Z là tập hợp số nguyên chỉ ra số nguyên là miền xác định duy nhất mà các thành phần dương trong này được sắp xếp trật tự tốt và được bảo toàn dưới phép cộng.

Tập hợp các số nguyên Z gồm có số 0, các số tự nhiên dương (1,2,3,…) và các nghịch đảo phép cộng của chúng (các số nguyên âm -1;-2;-3,…).

Tập hợp số nguyên Z thường được biểu thị bằng chữ in đậm (Z) hoặc chữ lớn có viền (). Kí tự này được bắt nguồn từ tiếng Đức Zahlen (Có tức là “số”)

là một tập hợp con của tập hợp số hữu tỷ và cũng là tập hợp con của tập số thực .

Tương tự như các tập hợp số tự nhiên khác thì tập hợp là tập hợp vô hạn đếm được.

Kí hiệu tập hợp Z

Biểu tượng còn được dùng làm biểu thị một số tập hợp khác nhau với cách sử dụng khác nhau. Chẳng hạn tất cả chúng ta có một số trường hợp sau đây:

• Số nguyên dương: , ,
• Số nguyên không âm: ,
• Số nguyên khác không: ,
• Số nguyên modul P.:

Các kí hiệu tập hợp này còn có thể khác nhau theo từng đối tượng người dùng sử dụng. Một số người sử dụng kí hiệu cho số nguyên khác 0 nhưng một số lại dùng làm biểu thị cho những số nguyên không âm.

Tính chất của số nguyên

Tương tự như các tập hợp số khác thìa là tập hợp đóng với những phép toán cộng trừ nhân chia. Điều này còn có tức là tổng và tích của hai số nguyên bất kì là một số nguyên. Tuy nhiên, việc gồm có cả những số nguyên âm, số 0 đã khiến không như những số tự nhiên và cũng là tập hợp đóng với những phép toán trừ.

Các số nguyên tạo thành một vành đơn vị và là vành cơ bản nhất. Vành đơn vị này nếu có một phép đồng cấu duy nhất từ các số nguyên.

Tập hợp không đóng với phép chia vì thương của chúng không hẳn là một số nguyên. Ví dụ một là số nguyên, 2 là số nguyên nhưng 1 chia 2 không phải là số nguyên.

Quan hệ số nguyên và số hữu tỉ

Trong toán học, các số nguyên tạo thành một nhóm nhỏ nhất và vành nhỏ nhất này sẽ tạo thành các số tự nhiên. Theo lý thuyết đại số thì những số nguyên đó thỉnh thoảng được xem là số hữu tỉ để bạn dễ dàng phân biệt được với những số nguyên đại số tổng quát hơn. Trong thực tế, số nguyên (hữu tỉ) là số nguyên đại số và cũng song song là số hữu tỉ. Tất cả chúng ta có thể theo dõi tính chất cơ bản của số nguyên theo bảng sau:

Phép cộngPhép nhânTính đóngTính kết hợpTính giao hoánPhần tử đơn vịPhần tử nghịch đảoSố nguyên duy nhất có thành phần nghịch đảo là -1 và 1Thuộc tính phân phối và Không có ước của số 0Nếu , thì hoặc hoặc cả hai.

Tính chất về lý thuyết trật tự

Tập hợp Z là một tập hợp số không có bất kì giới hạn trên hay dưới. Ví dụ về trật tự của tập hợp Z được hiểu như sau: .

Một số nguyên dương khi nó to ra hơn 0 và nguyên âm khi nó nhỏ hơn 0.

Số 0 là số trung gian và nó không âm cũng không dương.

Từ trật tự của nhiều số nguyên ta có tính chất sau:

thì tất cả chúng ta có hai tính chất:

• Nếu và thì
• Nếu và thì

Do các tính chất đó, người ta Kết luận rằng Z cùng với trật tự trên là một vành có trật tự.

Vướng mắc ôn tập lại lý thuyết

Câu 1: Lấy VD thực tế trong đó có số nguyên âm, giảng giải ý nghĩa của số nguyên âm đó.

Câu 2: Tập hợp Z các số nguyên gồm có những số nào?

Câu 3: Đã cho thấy trên trục số hai số đối nhau có đặc điểm gì?

Câu 4: Nói tập hợp Z gồm có hai phòng ban là số tự nhiên và số nguyên âm đúng không nào?

Xem Thêm :

Câu 5: Nhắc lại cách so sánh hai số nguyên a và b trên trục số?

Bài tập về tập hợp số nguyên

Để kết thúc lại chuyên đề này, tất cả chúng ta cùng tìm hiểu một số

Bài 1: Cho tập hợp

Đề bài

a/ Viết tập hợp N gồm các thành phần là số đối của nhiều thành phần thuộc tập M.

b/ Viết tập hợp P. gồm các thành phần của M và N

Đáp án

a)

b)

Bài 2: Trong các câu sau câu nào đúng? Câu nào sai?

Đề bài

a/ Mọi số tự nhiên đều là số nguyên.

b/ Mọi số nguyên đều là số tự nhiên.

c/ Có những số nguyên song song là số tự nhiên.

d/ Có những số nguyên không là số tự nhiên.

e/ Số đối của 0 là 0, số đối của a là (-a).

g/ Khi trình diễn các số (-5) và (-3) trên trục số thì điểm (-3) ở bên trái điểm (-5).

h/ Có những số không là số tự nhiên cũng không là số nguyên.

Đáp án

ĐS: Các câu sai: b/ g/

Bài 3: Trong các câu sau câu nào đúng? Câu nào sai?

Đề bài

a/ Bất kỳ số nguyên dương nào xũng to ra hơn số nguyên ân.

b/ Bất kỳ số tự nhiên nào thì cũng to ra hơn số nguyên âm.

c/ Bất kỳ số nguyên dương nào thì cũng to ra hơn số tự nhiên.

d/ Bất kỳ số tự nhiên nào thì cũng to ra hơn số nguyên dương.

e/ Bất kỳ số nguyên âm nào thì cũng nhỏ hơn 0.

Đáp án

ĐS: Các câu sai: d/

Bài 4: Sắp xếp số nguyên

Đề bài

a/ Sắp xếp các số nguyên sau theo trật tự tăng dần: 2, 0, -1, -5, -17, 8

b/ Sắp xếp các số nguyên sau theo trật tự giảm dần: -103, -2004, 15, 9, -5, 2004

Đáp án

a/ -17. -5, -1, 0, 2, 8

b/ 2004, 15, 9, -5, -103, -2004

Bài 5: Trong những cách viết sau, cách viết nào đúng?

Đề bài

a/ -3 < 0

Xem Thêm : Tìm hiểu Sigmoid Function và lịch sử hình thành của nó

b/ 5 > -5

c/ -12 > -11

d/ |9| = 9

e/ |-2004| < 2004

f/ |-16| < |-15|

Đáp số

Các câu sai: c/ e/ f/

Bài 6: Tìm x

Đề bài

a/ |x – 5| = 3

b/ |1 – x| = 7

c/ |2x + 5| = 1

Hướng dẫn

a/ |x – 5| = 3 nên x – 5 = ± 3

• x – 5 = 3 ➡ x = 8
• x – 5 = -3 ➡ x = 2

b/ |1 – x| = 7 nên 1 – x = ± 7

• 1 – x = 7 ➡ x = -6
• 1 – x = -7 ➡ x = 8

c/ x = -2, x = 3

Bài 7: So sánh các số sau

Đề bài

a) So sánh và

b) So sánh và

Đáp án

a)

Ta có

Ta có

Do đó

b)

Ta có

Ta có

Vì nên

Do đó

Tài liệu về tập hợp Z

Tại đây là tổng hợp phần lý thuyết và một số dạng toán hay về tập hợp số nguyên. Chúng ta có thể theo dõi trực tiếp trên website nhé:

Trên đây là toàn bộ tri thức về tập hợp Z. Mong rằng nội dung bài viết trên có ý nghĩa với những bạn độc giả và giúp độc giả giảng giải được số nguyên là gì, cách vận dụng số nguyên vào các bài toán ra sao.