Phép biến hình F trong không gian là một quy tắc để với mỗi điểm M (trong không gian), xác định được một điểm M’duy nhất gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F. Ta còn nói F biến điểm M thành điểm M’và kí hiệu M’= F(M).

Bạn Đang Xem: LÝ THUYẾT PHÉP ĐỐI XỨNG QUA MẶT PHẲNG ĐỐI XỨNG LÀ GÌ ? SỐ MẶT PHẲNG ĐỐI XỨNG CỦA HÌNH TỨ DIỆN ĐỀU

Bạn đang xem: Mặt phẳng đối xứng là gì

Qua phép biến hình F, mỗi hìnhđược trở thành hình’gồm tất cả những ảnh của những điểm thuộc hình.

Sau đây ta xét phép đối xứng qua mặt phẳng, đó là một phép biến hình thường gặp.1. Phép đối xứng qua mặt phẳng

ĐỊNH NGHĨA 1 (h.7)

Phép đối xứng qua mặt phẳng(P.) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P.) thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc (P.) thành điểm M’sao cho (P.) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MM’.

Hình 7

Nếu phép đối xứng qua mp(P.) biến hai điểm M, N tuần tự thành hai điển M’, N’thì M’N’= MN. (Như vậy diễn giải theo ý nghĩa khác : phép đối xứng qua mặt phẳng là phép biến hình bảo toàn khoảng tầm cách giữa hai điểm bất kì).

Hình 8

1(để chứng minh định lí 1)

NếuM, Nnằn trên (P.) thìM’vàN’trùngMvàN’trùngNnênM’N’=MN.

Nếu có ít nhất một trong hai điểmM, Nkhông nằm trên (P.) thì có mp(Q.) đi qua các điểmM, N, M’, N’.Hãy dùng tri thức hình học phẳng để chứng minhM’N’=MN.

Khi đứng trước một tấm gương phẳng, mỗi người sẽ nhìn thấy hình của mình ở “phía sau” tấm gương đó (h.9). Phép đối xứng qua mặt phẳng của tấm gương đã “biến” mỗi người thành hình của họ.

Hình 9.Ảnh chụp một em bé trước gương

Hình 10 là ảnh của Tháp Rùa đang soi bóng trên mặt nước Hồ Hoàn Kiếm (TP.Hà Nội). Mặt hồ xem như thể một phần của mặt phẳng, phép đối xứng qua mặt phẳng đó biến Tháp Rùa thành cái bóng của nó.

Hình 10.Ảnh chụp Tháp Rùa và bóng của nó

2. Mặt phẳng đối xứng của một hình

ĐỊNH NGHĨA 2

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P.) biến hìnhthành chính nó thì (P.) gọi làmặt phẳng đối xứngcủa hình.Một số ví dụVí dụ 1

Mọi mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu đều là mặt phẳng đối xứng của mặt cầu (h.11).

Hình 11

Ví dụ 2

Cho tứ diện đều ABCD (h.12). Gọi M là trung điểm của cạnh CD thì phép đối xứng qua mp(ABM) biến A thành A, B thành B, C thành D, D thành C. Như vậy, phép đối xứng đó biến tứ diện ABCD thành chính nó, suy ra mặt phẳng (ABM) thành mặt phẳng đối xứng của tứ diện ABCD.

Hình tứ diện đều ABCD có sáu mặt phẳng đối xứng. Đó là các mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện.

Hình 12

Ví dụ 3

Xét hình lập phương ABCD.A’B’C’D’(h.13).

Xem Thêm : Vải chân cua là gì? Nguồn gốc, ứng dụng, ưu nhược điểm

Hình 13

Nếu (P.) là mặt phẳng trung trực của cạnh AB thì nó cũng là mặt phẳng trung trực của cạnh AB thì nó cũng là mặt phẳng trung trực của rất nhiều cạnh CD, A’B’và C’D’, bởi vậy nó là mặt phẳng đối xứng của hình lập phương. Tương tự, các mặt phẳng trung trực của rất nhiều cạnh AD, và AA’cũng là những mặt phẳng đối xứng của hình lập phương.

Gọi (Q.) là mặt phẳng đi qua hai cạnh đối diện AB và C’D’thì (Q.) là mặt phẳng đối xứng của hình lập phương vì phép đối xứng qua (Q.) biến mỗi điểm A, B, C’, D’thành chính nó và biến điểm A’thành D, D thành A’,C thành B’và B’thành C.

?1Như vậy hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳngđối xứng ?3. Hình bát diện đều và mặt phẳng đối xứng của nóHình 14 là một hình đa diện có 8 mặt là các tam giác đều :EAB, EBC, ECD, EDA, FAB, FBC, FCDvàFDA,có 6 đỉnhA, B, C, D, E, F, mỗi đỉnh là đỉnh chung cho 4 tam giácđều. Hình đó gọi làhình bát diện đều(hayhình tám mặt đều) và được kí hiệu làABCDEF.

Hình 14

Tính chất

Bốn đỉnh A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng và đó là một mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều ABCDEF.Chứng minh

Vì mỗi điểmA, B, C, Dcách đều hai điểmEvàFnên chúng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳngEF. Phép đối xứng qua mặt phẳng đó biến mỗi điểmA, B, C, Dthành chính nó và biến điểmEthànhF,FthànhEnên mp(ABCD) là mặt phẳng đối xứng của bát diện đềuABCDEF.¢

2Tìm thêm các mặt phẳng đối xứng khác của hình bát diện đều.4. Phép dời hình và sự bằng nhau của rất nhiều hìnhPhép dời hình trong không gian được khái niệm tương tự như trong mặt phẳng.Khái niệm phép dời hình

Một phép biến hình F trong không gian được gọi làphép dời hìnhnếu nó bảo toàn khoảng tầm cách giữa hai điểm bất kì (có tức thị nếu F biến hai điểm bất kì M, N tuần tự thành hai điểm M’, N’thì M’N’=MN).Từ khái niệm đó, ta suy ra phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phẳng,… .Hiển nhiên phép đối xứng qua mặt phẳng là một phép dời hình.Phép đồng nhất(biến mỗi điểm thành chính nó) là một phép dời hình.Rõ ràng nếu thực hiện liên tục các phép dời hình thì ta cũng xuất hiện kết quả là phép dời hình. Nói cách khác :Hợp thành của những phép dời hình là phép dời hình.Một số ví dụ về phép dời hìnhNgoài phép đối xứng quanh mặt phẳng, ta thường gặp một số phép dời hình sau đây :

•Phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vectơlà phép biến hình biến mỗi điểmMthành điểmM’sao cho.

•Phép đối xứng qua đường thẳng(còn gọi làphép đối xứng trục) : cho đường thẳngd, phép đối xứng qua đường thẳngdlà phép biến hình biến mỗi điểm thuộcdthành chính nó và biến mỗi điểmMkhông thuộcdthành điểmM’sao cho trong mặt phẳng (M, d),dlà đường trung trực của đoạn thẳngMM’.

•Phép đối xứng qua một điểm(còn gọi làphép đối xứng tâm) : Cho điểmO, phép đối xứng qua điểmOlà phép biến hình biến mỗi điểmMthành điểmM’sao cho.Khái niệm hai hình bằng nhau

Hai hìnhvà’gọi làbằng nhaunếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Xem thêm: Cách viết cover letter cho sinh viên mới ra trường, mẫu thư xin việc cho sinh viên mới ra trường

?2Hai mặt cầu có nửa đường kính bằng nhau thì có bằng nhau hay là không ? Vì sao ?Ví dụ 4.Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Gọi A’, B’, C’tuần tự là trung điểm của cạnh BC, CA và AB. Khi đó hai tứ diện SABA’và SBCB’bằng nhau.Giải(h.15)

Hình 15

Thật vậy, phép đối xứng qua mp(SAA’) biến các điểmS, A, B, A’tuần tự thành các điểmS, A, C, A’và phép đối xứng qua mp(SCC’) biến các điểmS, A, C, A’tuần tự thành các điểmS, B, C, B’. Như vậy, qua hai phép đối xứng trên, bốn đỉnhS, A, B, A’của tứ diệnSABA’trở thành bốn đỉnhS, B, C, B’của tứ diệnSBCB’nêu theo khái niệm, hai tứ diện đó bằng nhau. ¢ĐỊNH LÍ 2

Hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’bằng nhau nếu chúng có những cạnh tương ứng bằng nhau, tức thị AB=A’B’, BC=B’C’, CD=C’D’, AC=A’C’, BD=B’D’.Chứng minh.Ta xét các trường hợp sau :

Trường hợp 1(h.16).Hai hình tứ diện có ba cặp đỉnh tương ứng trùng nhau,chẳng hạnAtrùngA’, BtrùngB’, CtrùngC’, DkhácD’.

Hình 16

Khi đó, mỗi điểmA, B, Ccách đều hai điểmDvàD’trên mp(ABC) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳngDD’,suy ra phép đối xứng qua mp(ABC) biến các đỉnhA, B, C, Dlần lượt thành các đỉnhA’, B’, C’, D’.Vậy hai tứ diệnABCDvàA’B’C’D’bằng nhau.

Trường hợp 2(h.17). Hai hình tứ diện đó có hai cặp đỉnh tương ứng trùng nhau,chẳng hạnAtrùngA’, BtrùngB’.

Hình 17

Khi đó gọi (P.) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳngCC’thì (P.) đi quaAvàB(vìAvàBcùng cách đều hai điểmCvàC’). Vậy phép đối xứng qua mp(P.) sẽ biến cá điểmA, B, C, Dlần lượt thành các điểmA’, B’, C’, D1và do đó tứ diệnABCDbằng tứ diệnA’B’C’D1.

Vì hai tứ diệnA’B’C’D1vàA’B’C’D’có những cạnh tương ứng bằng nhau và có ba đỉnh tương ứng trùng nhau nên theo trường hợp 1, chúng bằng nhau.

Trường hợp 3. Hai hình tứ diện có một cặp đỉnh tương ứng trùng nhau,chẳng hạnAtrùngA’.

Khi đó, gọi (Q.) là mặt phẳng trung trực củaBB’thì (Q.) đi quaA(vìAcách đềuBvàB’). Vậy phép đối xứng qua (Q.) biến các điểmA, B, C, Dlần lượt thành các điểmA’, B’, C1, D1và do đó, hai tứ diệnABCDvàA’B’C1D1bằng nhau. Mặt khác, hai tứ diệnA’B’C1D1vàA’B’C’D’có những cạnh tương ứng bằng nhau và có hai cặp đỉnh tương ứng trùng nhau nên theo trường hợp 2, chúng bằng nhau.

Trường hợp 4. Hai hình tứ diện đó không có cặp đỉnh tương ứng nào trùng nhau.

Xem Thêm : Kinh tế chia sẻ là gì? Hiểu rõ về kinh tế chia sẻ trong bài viết này

Khi đó gọi (R) là mặt phẳng trung trực củaAA’, phép đối xứng qua (R) biến các điểmA, B, C, Dlần lượt thành các điểmA’, B1, C1, D1nên tứ diệnABCDbằng tứ diệnA’B1C1D1: mà hai tứ diệnA’B1C1D1vàA’B’C’D’có cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đỉnh tương ứng trùng nhau, do đó chúng bằng nhau theo trường hợp 3. ¢HỆ QUẢ 1

Hai tứ diện đều phải sở hữu cạnh bằng nhau thì bằng nhau.

HỆ QUẢ 2

Hai hình lập phương có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.Chứng minh(h.18)

Hình 18

Giả sửABCD. A’B’C’D’vàMNPQ.M’N’P.’Q.’là hai hình lập phương có cạnh đều bằnga. Hai tứ diệnABDA’vàMNQM’có những cạnh tương ứng bằng nhau nên bằng nhau, tức là có phép dời hìnhFbiến các điểmA, B, D, A’tuần tự thànhM, N, Q., M’. VìFlà phép dời hình nênFbiến hình vuông thành hình vuông, do đóFbiến các điểmCthành điểmP, biến điểmB’thànhN’,biến điểmD’thànhQ’và biến các điểmC’thànhP’.Như vậy, hai hình lập phương đã cho bằng nhau. ¢

Vướng mắc và bài tập

6.GọiĐlà phép đối xứng qua mặt phẳng (P.) vàalà một đường thẳng nào đó. Giả sửĐbiến đổi đường thẳngathành đường thẳnga’. Trong trường hợp nào thì :

a)atrùng vớia’;

b)asong songa’;

c)acắta’;

d)avàa’chéo nhau ?7.Tìm các mặt phẳng đối xứng của rất nhiều hình sau đây :

a) Hình chóp tứ giác đều ;

b) Hình chóp cụt tam giác đều ;

c) Hình hộp chữ nhật mà không có mặt nào là hình vuông.8.Cho hình lập phươngABCD. A’B’C’D’.Chứng minh rằng :

a) Các hình chópA. A’B’C’D’vàC’.ABCDbằng nhau.

b) Các hình lăng trụABC.A’B’C’vàAA’D’.BB’C’bằng nhau.9.Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm là những phép dời hình.10.Chứng minh rằng :

a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P.) và (Q.) là một phép tịnh tiến ;

b) Hợp thành của hai phéo đối xứng qua hai mặt phẳng (P.) và (Q.)vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng.

Mặt phẳng đối xứng của một hìnhKhái niệm: Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P.) biến hình (H) thành chính nó thì (P.) gọi là mặt phẳng đối xứng của hình (H)

======

Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:Đa diện đều

Bài liên quan:

Reader Interactions

Trả lời Hủy

E-Mail của các bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được lưu lại *

Phản hồi *

Tên *

E-Mail *

Website

Δ

Sidebar chính

MỤC LỤC

mua.edu.vn (2015 – 2023) Học Toán trực tuyến – Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.THÔNG TIN: Giới thiệu – Liên hệ – Bản quyền – Sitemap – Quy định – Hướng dẫn.