Đường trung trực là tri thức Toán học quan trọng trong Khóa học môn Toán lớp 7, 8. Tuy nhiên, nhiều bạn vẫn không biết đường trung trực là gì, tính chất đường trung trực ra sao và cách giải bài tập. Vì vậy hãy cùng Tải về.vn theo dõi nội dung bài viết tại chỗ này nhé.

Bạn Đang Xem: Đường trung trực: Định nghĩa, tính chất và bài tập Ôn tập toán lớp 7

Tài liệu gồm có toàn bộ tri thức về khái niệm, tính chất đường trung trực, các dạng toán thường gặp kèm theo một ví dụ minh họa. Tài liệu được soạn theo Khóa học sách giáo khoa hiện hành nhằm giúp cho những em học trò có tài liệu tham khảo để ôn tập, củng cố tri thức. Song song vận dụng để làm những bài tập có dạng tương tự hoặc nâng cao đạt kết quả tốt. Sát gần đó các bạn xem thêm cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

I. Đường trung trực là gì?

Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

Định lý 1: Điểm nằm trên tuyến đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

GT: d là trung trực của AB, M ∈ d

=> KL: MA = MB

Định lí 2:

Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên tuyến đường trung trực của đoạn thẳng đó

Nhận xét: Tập hợp những điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

II. Tính chất đường trung trực

2.1. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Trên hình vẽ trên, dd là đường trung trực của đoạn thẳng AB.AB. Ta cũng nói: AA đối xứng với BB qua d.d.

Nhận xét:

Tập hợp những điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

2.2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Trên hình, điểm OO là giao điểm các đường trung trực của ΔABC.ΔABC.

Ta có OA=OB=OC.OA=OB=OC. Điểm OO là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.ΔABC.

III. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

– Phương pháp:

Để chúng minh dd là đường trung trực của đoạn thẳng ABAB, ta chứng minh dd chứa hai điểm cách đều AA và BB hoặc dùng khái niệm đường trung trực.

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

– Phương pháp:

Ta sử dụng định lý: “Điểm nằm trên tuyến đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.”

Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

– Sử dụng tính chất đường trung trực để thay độ dài một đoạn thẳng thành độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó.

– Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất.

Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp:

Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực của tam giác

Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Xem Thêm : Autodesk desktop app là gì

Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực so với tam giác cân

Phương pháp:

Lưu ý rằng trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy song song là đường trung tuyến , đường phân giác ứng với cạnh đáy này.

Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực so với tam giác vuông

Phương pháp:

Ta lưu ý rằng: Trong tam giác vuông, giao điểm các đường trung trực là trung điểm cạnh huyền

IV. Một số thắc mắc thường gặp về đường trung trực

Số đường trung trực trong một đoạn thẳng?

Vì đường trung trực là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng. Mà mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất một điểm là trung điểm cho nên mỗi đoạn thẳng có duy nhất 1 đường trung trực.

Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng

Khi tìm hiểu về khái niệm đường trung trực của đoạn thẳng, ta cũng cần phải biết phương pháp viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng như sau:

Bước 1. Ta tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực và một điểm mà nó đi qua.

Bước 2. Ta dựa vào định lý 1: “Điểm nằm trên tuyến đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Tức là nếu điểm M thuộc đường thẳng AB thì thì MA = MB.

Ví dụ 1: Gọi M là điều nằm trên tuyến đường trung trực của đoạn thẳng AB. Nếu MA có độ dài 5cm thì độ dài MB bằng bao nhiêu?

Giải:

Vì điểm M nằm trên tuyến đường trung trực của đoạn thẳng AB nên theo định lí về tính chất chất của những điểm thuộc đường trung trực ta có MA = MB. Mà MA = 5cm (gt) suy ra MB = 5cm.

Ví dụ 2: Vẽ một đoạn thẳng MN, sau đó hãy dùng thước thẳng và compa để dựng đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Ví dụ 3: Gọi M là điều nằm trên tuyến đường trung trực của đoạn thẳng AB, cho đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu?

Ví dụ 3:

Chứng minh đường thẳng PQ được vẽ như trong hình 43 đúng là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Gợi ý: Sử dụng định lí

Giải:

Ta có : Hai cung tròn tâm M và N có nửa đường kính bằng nhau và cắt nhau tại Phường, Q..

Nên MP = NP và MQ = NQ

⇒ Phường; Q. cách đều hai mút M, N của đoạn thẳng MN

nên theo định lí 2 : Phường; Q. thuộc đường trung trực của MN

hay đường thẳng qua Phường, Q. là đường trung trực của MN.

Vậy PQ là đường trung trực của MN.

Ví dụ 4

Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Gợi ý đáp án

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Hai trung tuyến BM, cử nhân cắt nhau tại I. Hai tia phân giác trong của góc B và C cắt nhau tại O.Hai tuyến đường trung trực của 2 cạnh AB và AC cắt nhau tại K.

a) Chứng minh: BM = cử nhân.

b) Chứng minh OB = OC

c) Chứng minh những điểm A,O, I, K thẳng hàng.

Xem Thêm : Debut là gì, các thuật ngữ và ý nghĩa quan trọng của debut

Bài 2: Trên phố thẳng d là trung trực của đoạn thẳng AB lấy điểm M, N nằm ở hai nữa hai mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng AB.

a) Chứng minh

b) MN là tia phân giác của AMB.

Bài 3: Cho góc xOy = 50, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điềm M sao cho Ox là trung trực của đoạn AN, vẽ điểm M sao cho Oy là trung trực của đoạn AM.

a) Chứng minh: OM = ON

b) Tính số đo

Bài 4: Cho 2 điểm A và B nằm trên cùng một mặt phảng có bờ là đường thẳng d. Vẽ điểm C sao cho d là trung trực của đường thẳng BC, AC cắt d tai E. Trên d lấy điểm M bất kỳ.

a) So sánh MA + MB và AC

b) Tìm vị trí của M trên d để MA + MB ngắn nhất

Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo trật tự ở D và E.

a) Các tam giác ABD, ACE là tam giác gì.

b) Đường tròn tâm O bán kinh OA đi qua những điểm nào trên hình vẽ?

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A ,đương cao AH. Vẽ đường trung trục của cạnh AC cát BC tai I và cát AC tai E.

a) Chứng minh IA = IB = IC.

b) Gọi M là trung điểm của đoạn AI, chứng minh MH = ME

c) BE cắt AI tại N, tính tỉ số của đoạn MN và AI

Bài 7: Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Với ĐK nào sau đây thì đường thẳng AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD ?

Bài 8: Gọi M là điều nằm trên tuyến đường trung trực của đoạn thẳng AB . Cho MA =5cm. Hỏi độ dài MB bằng ?

Bài 9: Cho hai điểm M, N nằm trên tuyến đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh ∆AMN = ∆BMN

Bài 10: Cho ba tam giác ABC, DBC, EBC có chung đáy BC . Chứng minh 3 điểm A, D, E thẳng hàng

Bài 11. Cho ΔABC cân tại A. Đường trung trực của AC cắt AB ở D. Biết CD là tia phân giác của ∠Ngân Hàng Á Châu ACB. Tính các góc của ΔABC

Bài 12. Cho ΔABC cân tại A , có ∠A = 40°, đường trung trực của AB cắt BC tại D . Tính ∠CAD

Bài 13. Cho ΔABC cân tại A. Đường trung trực của AC cắt AB ở D. Biết CD là tia phân giác của ∠Ngân Hàng Á Châu ACB. Tính các góc của ΔABC

Bài 14. Cho ΔABC vuông tại A, có ∠C = 30°, đường trung trực của BC cắt AC tại M. Em hãy lựa chọn câu đúng:

A. BM là đường trung tuyến của ΔABC

B. BM = AB

C. BM là phân giác của ∠ABC

D. BM là đường trung trực của ΔABC

Bài 15.

Cho điểm C thuộc trung trực của đoạn thẳng AB. Biết CA = 10 cm. Độ dài đoạn thẳng CB là:

A. CB = 10 cm

B. CB = 20 cm

C. CB = 30 cm

D. CB = 40 cm