Trước tiên, các em cùng VUIHOC nhận định mức độ khó của đa số bài toán luỹ thừa của luỹ thừa tại bảng sau đây:

Để dễ dàng hơn trong việc theo dõi nội dung bài viết cũng như ôn tập sau này, các em tải file tổng hợp lý thuyết luỹ thừa – luỹ thừa của luỹ thừa theo link sau đây nhé!

>>>Tải xuống file lý thuyết luỹ thừa của luỹ thừa đầy đủ và chi tiếtvàlt;<<

1. Ôn lại lý thuyết về luỹ thừa

1.1. Khái niệm lũy thừa là gì?

Về khái niệm luỹ thừa, các em có thể hiểu đơn giản rằng, lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có $n$ thừa số $a$ nhân với nhau. Lũy thừa có thể hiểu là tích số của một số với chính nó nhiều lần.

Luỹ thừa ký hiệu là $a^b$, đọc là lũy thừa bậc $b$ của $a$ hay $a$ mũ $b$, số $a$ gọi là cơ số, số $b$ gọi là số mũ.

Ngoài ra, ta nên biết rằng, phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn.

1.2. Phân loại luỹ thừa

Như lớp học Toán 12 trung học phổ thông đã được học về luỹ thừa nói chung và luỹ thừa của một luỹ thừa nói riêng, các em có thể biết được luỹ thừa được phân chia ra làm 3 dạng: luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực. Mỗi dạng sẽ sở hữu công thức tổng quát hoặc tính chất riêng biệt mà các em cần lưu ý phân biệt để không nhầm lẫn trong quá trình giải bài tập.

Dạng 1: Luỹ thừa với số mũ nguyên

Cho $n$ là một số nguyên dương. Với $a$ là một số thực tuỳ ý, luỹ thừa bậc $n$ của $a$ là tích của n thừa số $a$. Khái niệm luỹ thừa với số mũ nguyên cũng giống khái niệm chung về luỹ thừa. Ta có công thức tổng quát như sau:

$a^n=a.a.a.a…..a$ ($n$ thừa số $a$)

Với $a^0$ thì $a^0=1, a^{-n}=frac{1}{a^n}$

Lưu ý:

• $0^n$ và $0^{-n}$ không có nghĩa

• Luỹ thừa với số mũ nguyên có những tính chất tương tự của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Dạng 2: Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực $a$ dương và số hữu tỉ $r=m^n$, trong đó $min mathbb{Z}, nin mathbb{N}, ngeq 2$

Luỹ thừa của số $a$ với số mũ $r$ là số $a^r$ xác định bởi: $a^r=a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{a^m}$

Đặc biệt quan trọng: Khi $m=1: a^{frac{1}{n}}=sqrt[n]{a}$

Ví dụ:

Dạng 3: Luỹ thừa với số mũ thực

Cho $avàgt;0,ain mathbb{R}$, là một số vô tỉ, khi đó $a^alpha =lim_{nrightarrow +infty }a(r^n)$ với $r^n$ là dãy số hữu tỉ thoả mãn $lim_{nrightarrow +infty }r^n=alpha $

Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực:

1.3. Tính chất và công thức luỹ thừa cơ bản

Các tính chất của luỹ thừa góp phần không nhỏ trong việc hình thành cách so sánh luỹ thừa trong các bài tập cụ thể. Tất cả chúng ta cùng xét các tính chất lũy thừa vận dụng để chuyển đổi và so sánh luỹ thừa sau:

• Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:

Tính chất về bất đẳng thức:

• So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:
  • Với $avàgt;1$ thì $a^mvàgt;a^nRightarrow mvàgt;n$
  • Với $0vàlt;avàlt;1$ thì $a^mvàgt;a^nRightarrow mvàlt;n$
• So sánh cùng số mũ:
  • Với số mũ dương $nvàgt;0: avàgt;bvàgt;0Rightarrow a^nvàgt;b^n$
  • Với số mũ âm $nvàlt;0: avàgt;bvàgt;0Rightarrow a^nvàlt;b^n$

Tại đây là bảng công thức luỹ thừa cơ bản giúp các em chuyển đổi các phép tính luỹ thừa của luỹ thừa:

Ngoài ra còn tồn tại một số công thức khác trong các trường hợp đặc biệt quan trọng, cụ thể như sau:

• Luỹ thừa của số e:

Số $e$ là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số $e$ được khái niệm qua giới hạn sau:

Hàm $e$ mũ, được khái niệm bởi $e=lim_{xrightarrow infty }(1+frac{1}{n})^n$ ở đây $x$ được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa $e^{x+y}=e^x.e^y$

Hàm $e$ mũ xác định với tất cả những giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của $x$.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm $e$ mũ với $x$ là số nguyên dương k đây chính là $e^k$ như sau:

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng $e^{x+y}$ thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng xuất hiện thể mở rộng cho tất cả những số không phải là số nguyên dương.

• Hàm luỹ thừa với số mũ thực:

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được khái niệm bằng phương pháp sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của đa số số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên $ln(x)$ là hàm ngược của hàm $e^x$. Từ đó $lnx$ là số $b$ sao cho $x=e^b$

Nếu $a$ là số thực dương, $x$ là số thực bất kỳ ta có $a=elna$ nên nếu ax được khái niệm nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có:

$a^x=(e^{lna})^x=e^{x.lna}$

Điều này dẫn tới khái niệm $a^x=e^{x.lna}$ với mọi số thực $x$ và số thực dương $a$

2. Luỹ thừa của luỹ thừa

2.1. Luỹ thừa của một luỹ thừa là gì?

Để hiểu được luỹ thừa của luỹ thừa là gì,đơn giản nhất ta có thể suy ra từ khái niệm của luỹ thừa như sau:

Luỹ thừa của luỹ thừa là biểu thức luỹ thừa trong đó phần cơ số là một biểu thức luỹ thừa khác. Luỹ thừa của luỹ thừa có ký hiệu là $(a^n)^m$

2.2. Công thức luỹ thừa của luỹ thừa

Theo khái niệm trên, công thức luỹ thừa của luỹ thừa có dạng như sau:

$(a^m)^n=a^{m.n}$

2.3. Ứng dụng công thức luỹ thừa của luỹ thừa trong các bài toán luỹ thừa

VD1:

Lời giải

Chọn A

Ta có

VD2.

Lời giải

3. Bài tập luỹ thừa của luỹ thừa

Để thuần thục các bài tập luỹ thừa của luỹ thừa, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu tổng hợp các dạng bài vận dụng công thức chuyển đổi luỹ thừa của một luỹ thừa thường gặp nhất. Các em tải theo link sau đây nhé!

>>>Tải xuống file bài tập luỹ thừa của luỹ thừa có giải chi tiếtvàlt;<<

Trên đây là toàn bộ tri thức cần ghi nhớ về luỹ thừa của luỹ thừa. Thông qua nội dung bài viết trên VUIHOC mong rằng sẽ giúp các em có thể nắm chắc tri thức về chuyên đề này trong quá trình ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán.

>>> Bài đọc thêm:

Công thức về lũy thừa