Số nhị phân, bát phân, thập phân, thập lục phân là 4 hệ đếm thông dụng nhất trong số trong số rất nhiều hệ đếm. Trong số đó:

• Số thập phân thường dùng trong tính toán hằng ngày.
• Những số nhị phân, bát phân, thập lục phân thường được sử dụng trong lập trình.

Trong lịch sử vẻ vang quả đât, để trổ tài một số lượng thì tùy từng vương quốc, nền văn hóa truyền thống mà mọi người có cách cách trình diễn không giống nhau. Ví dụ, số mười rất có thể trình diễn là: 10 (thường dùng trong toán học), X (số La Mã) hoặc + (chữ thập, chữ số của Trung Quốc).

Hiện nay để người ta dùng hệ đếm để trình diễn một số trong những.

Hệ đếm là gì?

Hệ đếm (hệ cơ số) là một tập hợp những ký hiệu và quy tắc tận dụng ký hiệu đó để trình diễn và xác định giá trị của những số. Trong số đó:

• Hệ đếm cơ số b là hệ đếm tận dụng b chữ số không giống nhau để trình diễn giá trị của những số, những chữ số này được gọi là tập chữ số.
• Những chữ số (tập chữ số) chính thức từ giá trị nhỏ nhất là 0 và tăng dần tới giá trị lớn số 1 là b-1.

Để tăng giá trị của một số trong những lên một đơn vị:

• Ta tăng giá trị hàng đơn vị lên một đơn vị. Ví dụ trong hệ cơ số 10 ta thường dùng: tăng giá trị số 1 lên một đơn vị ta được số 2, tăng giá trị số 123 lên một đơn vị ta được số 124,..
• Nếu chữ số hàng hàng đơn vị là chữ số lớn số 1 trong hệ đếm thì ta sẽ giảm chữ số đơn vị về 0 và tăng chữ số ở vế trái lên một đơn vị. Ví dụ trong hệ cơ số 10 ta thường dùng: tăng số 19 lên một đơn vị thì ta tăng hàng ngàn từ số 1 lên một đơn vị thành số 2 và giảm số hàng đơn vị từ 9 và 0, tương tự với 99, 109, 1999,…

Những loại hệ đếm và cách trình diễn giá trị của chúng

Từ đó, ta có những hệ đếm cơ số:

• Hệ đếm cơ số 1 dùng 1 chữ số là 0. Ví dụ: số không là 0, số một là 00, số hai là 000, số ba là 0000,…
• Hệ đếm cơ số 2 dùng 2 chữ số là 0, 1. Ví dụ: số không là 0, số một là một trong, số hai là 10, số ba là 11, số bốn là 100,…
• Hệ đếm cơ số 3 dùng 3 chữ số là 0, 1, 2. Ví dụ: số không là 0, số một là một trong, số hai là 2, số ba là 10, số bốn là 11,…
• …
• Hệ đếm cơ số 8 dùng 8 chữ số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ví dụ: số không là 0, số một là một trong, số hai là 2, …, số bảy là 7, số tám là 10, số 9 là 11, số mười là 12,…
• Hệ đếm cơ số 9 dùng chữ 9 số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Ví dụ: số không là 0, số một là một trong, số hai là 2, …, số tám là 8, số chín là 10, số mười là 10,…
• Hệ đếm cơ số 10 là hệ số ta thường dùng, hệ này dùng 10 chữ số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ví dụ: số không là 0, số một là một trong, số hai là 2, …, số chín là 9, số mười là 10, số mười một là 11,…

Tuy nhiên, nếu ta tiếp dùng những chữ số chữ tự nhiên từ hệ cơ số 11 trở đi thì rất sảy ra tình trạng tương tự như ví dụ sau đây:

• Hệ đếm cơ số 11 dùng chữ 11 số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và 10. Lúc đó, số mười là 10, số mười một là 10 (bị trùng).

Điều này không phù hợp lý, do đó người ta sẽ tận dụng những vần âm A, B, C, D,…, Z để trình diễn thay cho những chữ số có mức giá trị từ 10 trở đi. Lúc này, A tương ứng số 10, B tương ứng số 11, C tương ứng số 12,..

Khi tận dụng những vần âm trên, ta có:

• Hệ đếm cơ số 11 dùng 11 chữ số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A. Ví dụ: số không là 0, số một là một trong, số hai là 2, …, số 9 là 9, số mười là A, số mười một là 10,…
• Hệ đếm cơ số 12 dùng 12 chữ số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Ví dụ: số không là 0, số một là một trong, số hai là 2, …, số 9 là 9, số mười là A, số mười một là B, số mười hai là 10,…
• …
• Hệ đếm cơ số 16 dùng 16 chữ số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Ví dụ: số không là 0, số một là một trong, số hai là 2, …, số 9 là 9, số mười là A, số mười một là B, số mười hai là C, số mười ba là D, số mười bốn là E, số mười năm là F, số mười sáu là 10,…
• ….

Ký hiệu của một số trong những trong hệ cơ số

Vì có nhiều hệ cơ số không giống nhau nên những khi ta viết một số trong những là 101 thì ta không biết giá trị thật sự của số lượng là gì? vì:

• Trong hệ cơ số 2, số 101 có mức giá trị là năm.
• Trong hệ cơ số 8, số 101 có mức giá trị là sáu mươi lăm
• Trong hệ cơ số 10, số 101 có mức giá trị là một trăm lẻ một

Do đó, người ta ký hiệu số N được viết trong hệ cơ số b là: Nb

• Ví dụ: 1012 (cơ số 2, có mức giá trị là năm), 1018 (cơ số 8, có mức giá trị là mười lăm), 10110 (cơ số 10, có mức giá trị là một trăm lẻ một), 10116 (cơ số 16, có mức giá trị là hai trăm năm mươi bảy).

Khi một số trong những khi không kèm cơ số thì ta hiểu số này được viết dưới dạng cơ số 10.

• Ví dụ: 101 được hiểu là số hệ mười, có mức giá trị là một trăm lẻ một.

Hệ nhị phân, bát phân, thập phân, thập lục phân là gì?

Có 4 hệ cơ số thường được tận dụng và chúng thường được viết dưới dạng Hán-Việt là:

• Hệ nhị phân là hệ đếm cơ số 2 (hai trong Hán-Việt là nhị). Gồm những chữ số: 0, 1
• Hệ bát phân là hệ đếm cơ số 8 (tám trong Hán-Việt là bát). Gồm những chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
• Hệ thập phân là hệ đếm cơ số 10 (mười trong Hán-Việt là thập). Gồm những chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Hệ thập lục phân là hệ đếm cơ số16 (mười sáu trong Hán-Việt là thập lục). Gồm những chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Bảng sau đây trình diễn một số trong những giá trị và những hệ của chúng.

Chuyển đổi những hệ cơ số sang thập phân và trái lại

Để tính giá trị của số Nb ở hệ cơ số b ngẫu nhiên sang hệ thập phân (hệ 10) ta cần tiến hành quá trình sau:

• Bước 1: đếm số lượng chữ số có trong số Nb, số này gọi là k.
• Bước 2: đánh chỉ số i của những chữ số theo trật tự tặng dần từ phải sang trái và chính thức từ số 0 đến k -1.
• Bước 3: tính giá trị thập phân của số theo công thức dưới, với ai là chữ số ở vị trí có chỉ số i của Nb

Nb = ak-1 * bk – 1 + ak-2 * bk – 2 + … + a1 * b1 + a0 * b0

Ứng dụng những ở đây ta rất có thể chuyển những số nhị phân, bát phân và thập lục phân sang hệ thập phân

Cách chuyển hệ nhị phân sang hệ thập phân

Để chuyển số 111012 ở hệ nhị phân (hệ cơ số 2, có b = 2) sang hệ thập phân, ta ứng dụng quá trình ở trên:

• Bước 1: số 111012 có 5 chữ số (1, 1, 1, 0, 1) nên k = 5
• Bước 2: đánh chỉ số của những chữ số

• Bước 3: tính giá trị thập phân bằng công thức trên, với b = 2, k = 5

Vậy số 111012 hệ nhị phân có mức giá trị là 29 trong hệ thập phân.

Cách chuyển hệ bát phân sang hệ thập phân

Tương tự như trên, chuyển số 72108 ở hệ bát phân (hệ cơ số 8, có b = 8) sang hệ thập phân:

• Bước 1: số 72108 có 4 chữ số (7, 2, 1, 0) nên k = 4
• Bước 2: đánh chỉ số của những chữ số

• Bước 3: tính giá trị thập phân bằng công thức trên, với b = 8, k = 4

Vậy số 72108 hệ bát phân có mức giá trị là 3720 trong hệ thập phân.

Những thao tác với những hệ cơ số đếm

Tương tự trong toán học, ta sẽ tiến hành những thao tác với những cơ số đếm gồm:

• Trình diễn giá trị âm, giá trị dương, giá trị thực,..
• Triển khai tính toán: cộng, trừ, nhân, chia.

Nb = ak-1 * bk – 1 + ak-2 * bk – 2 + … + a1 * b1 + a0 * b0

Ngoài ra, ta còn quan tâm tới những cách chuyển đổi giữa những hệ cơ số nhị phân, bát phân, thập lục phân.