Cho A là một ma trận. Ma trận đã chiếm lĩnh từ A bằng phương pháp xóa đi một vài dòng và một vài cột được gọi là ma trận con của A. Định thức của ma trận con cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A.

Hạng của ma trận A là r nếu:

A có một định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức con cấp s (s > r) đều bằng 0.

Ta thường ký hiệu của ma trận A là R(A)

Ví dụ: Cho ma trận (A = left( begin{array}{l} 1,,,,,1,,,,1 0,,,,1,,,,1 0,,,,0,,,1 end{array} right)). Tìm hạng của A

Vì (left| A right| = 1 ne 0) nê R(A)=3

Ví dụ: Cho ma trận (A = left( begin{array}{l} 1,,,,,2,,,,3 4,,,,5,,,,6 7,,,,8,,,9 end{array} right)). Tìm hạng của A

Vì (left| A right| = 0,và,left| begin{array}{l} 1,,,,,2 4,,,,5 end{array} right| = – 3 ne 0)nên R(A)=2

Một trong những hệ quả:

(begin{array}{l} R({A_{m,x,n}}) le ,min left{ {m,n} right} R(A) = R({A^T}) R({A_{n,x,n}}) = n Leftrightarrow left| {{A_{m,x,n}}} right| ne 0 end{array})

Xét ma trận A. Ta có:

R(A) = hạng của hệ vectơ dòng của A = hạng của hệ vectơ cột của A.

• Một dòng của ma trận A gọi là loại tầm thường nếu gồm toàn số 0.
• Thành phần khác 0 trước tiên tính từ trái sang phải của một dòng không tầm thường được gọi là thành phần đứng vị trí số 1.
• Một dòng không tầm thường gọi là có bậc k nếu phần từ đứng vị trí số 1 là thành phần thứ k tính từ trái sang phải.

Ví dụ: Xét ma trận (A = left( begin{array}{l} 2,,,,,,0,,,,,1,,,,,0 0,, – 3,,,,,0,,,,2 1,,,,,2,, – 3,,,,1 0,,,,,0,,,,,0,,,,,,,0 end{array} right))

Ta có:

Dòng thứ một là dòng không tầm thường bậc 1.

Dòng thứ hai là loại không tầm thường bậc 2.

Dòng thứ 3 là loại không tầm thường bậc 1.

Dòng thứ 4 là loại tầm thường.

Một ma trận A có dạng bậc thang nếu:

• Những dòng tầm thường (nếu có) ở dưới mặt đáy.
• Những dòng không tầm thường có bậc tăng thực sự.

Ví dụ: (A = left( begin{array}{l} 2,,,,,,0,,,,,1,,,,,0 0,, – 3,,,,,0,,,,2 0,,,,,0,,,,,,0,,,,0 end{array} right)) là một ma trận bậc thang

Một ma trận bậc thang thu gọn là một ma trận bậc thang có thêm những tính chất:

• Những thành phần đứng vị trí số 1 (gọi là thành phần trụ) đều là số 1
• Những thành phần ở trên và cùng cột với thành phần trụ đều là số 0.

Ví dụ: (A = left( begin{array}{l} 1,,,,,,0,,,,,3,,,,,0,,,,,4 0,,,,,,1,,,,,2,,,,0,, – 1 0,,,,,0,,,,,,0,,,,1,,,,,2 end{array} right))là một ma trận bậc thang thu gọn

Cho A là một ma trận bậc thang. Lúc này, từ khái niệm hạng cùa ma trận, ta thường nhìn thấy: R(A) = số dòng không tầm thường của ma trận A

Ví dụ: Xét (A = left( begin{array}{l} 1,,,,,,2,,,,,3,,,,,4 0,,,,,2,,,,,0,,,,,4 0,,,,,0,,,,,,0,,,,0 end{array} right)). Vì A có dạng bậc thang và có 2 dòng không tầm thường nên R(A)=2.

Những phép thay đổi về sau trên ma trận được gọi là những phép thay đổi sơ cấp trên dòng

• Đổi chỗ hai dòng.
• Nhân một dòng với một vài khác 0.
• Cộng vào một trong những dòng bởi bội của một dòng khác.

Dùng những phép thay đổi sơ cấp trên dòng, ta hoàn toàn có thể đưa một ma trận vê dạng bậc thang hay dạng bậc thang thu gọn.

Ta có thuật toán đưa một ma trận về dạng bậc thang như sau :

• Bước 1: Tìm cột không tầm thường trước tiên tính từ trái sang phải. Giả sử cột đó là cột j .
• Bước 2: Đổi chỗ những dòng sao cho một thành phần khác 0 của cột j đứng vào dòng xoáy 1, tức thị ({a_{{rm{ij}}}} ne 0).
• Bước 3 : dùng ({a_{{rm{ij}}}} ne 0) làm thành phần trụ, đưa những số khác 0 cùng cột và đứng dưới ({a_{{rm{1j}}}}) về 0 bằng những phép thay đổi sơ cấp ({a_{{rm{1j}}}} d_i-{a_{{rm{ij}}}} d_1) (nhân dòng i với ({a_{{rm{1j}}}} ) , nhân dòng 1 với (-{a_{{rm{ij}}}} ) cộng lại và viết vào dòng xoáy i).
• Bước 4 : Tái diễn công việc trên với ma trận con có từ ma trận đầu bằng phương pháp bỏ dòng 1.
• Bước 5 : Tái diễn công việc trên đến lúc đã chiếm lĩnh dạng bậc thang.

Ví dụ Đưa ma trận về sau về dạng bậc thang

(A = left( begin{array}{l} 1,,,,,2,,, – 3,,,0 2,,,4,,, – 2,,,2 3,,,6,,, – 4,,,3 end{array} right))

Giải

Ta có:

dạng bậc thang

Ta có thuật toán đưa một ma trận bậc thang về dạng bậc thang thu gọn như sau:

Cho (A=({a_{{rm{ij}}}} )) là ma trận có dạng bậc thang với những thành phần đứng vị trí số 1 lần lươt là ({a_{{rm{1j_1}}}} ,{a_{{rm{2j_2}}}},…,{a_{{rm{rj_r}}}}) .

Bước 1: Nhân dòng r với (frac{1}{{{a_{{rm{r}}{{rm{j}}_{rm{r}}}}}}}) để tạo ra thành phần đứng vị trí số 1 của dòng r là một.

Bước 2 : Dùng thành phần ({a_{{rm{r}}{{rm{j}}_{rm{r}}}}}=1) như thể thành phần trụ, đưa những thành phần cùng cột và ở trên a về số 0 bằng phép biến đôi sơ cấp (d_i-{a_{{rm{r}}{{rm{j}}_{rm{r}}}}}d_r).

Bước 3 : Tái diễn công việc trên so với những dòng r-1, r-2,…,2.

Bước 4 : Nhân dòng 1 với (frac{1}{{{a_{{rm{1}}{{rm{j}}_{rm{1}}}}}}}).

Để lấy về dạng bậc thang thu gọn, ta hoàn toàn có thể ứng dụng hai thuật toán nêu trên, đưa ma trận về dạng bậc thang rồi đưa về dạng bậc thang thu gọn. Ngoài ra, ta hoàn toàn có thể ứng dụng thuật toán đưa ma trận về dạng bậc thang có sửa đổi một chút ít:

Ở bước 3, thay vì chỉ đưa những số khác 0 đứng dưới và cùng cột với phân tử đứng vị trí số 1 về số 0, thì ta đưa cả những số khác 0 đứng trên và cùng cột với thành phần đứng vị trí số 1 về số 0.

Sau cùng, khi đã được được dạng bậc thang, ta chia những dòng tầm thường cho thành phần đứng vị trí số 1 của chúng để mang những thành phần đứng vị trí số 1 về số 1.

Ví dụ: Đưa ma trận về sau về dạng bậc thang thu gọn

(A = left( begin{array}{l} 2,,,,,1,,,,,,5,,,,,,3 1,, – 4,,,,,2,,,,,3 3,,,,,,0,,,,,1,,,,,,2 end{array} right))

Giải

Ta có

dạng bậc than thu gọn.

Những phép thay đổi sơ cấp trên dòng của một ma trận không làm thay đổi hạng của ma trận..

Ví dụ: Tìm hạng của ma trận (A = left( begin{array}{l} 1,,,,,2,,,,, – 3,,,,,,0 2,,,,4,,,,, – 2,,,,,,2 3,,,,6,,,,, – 4,,,,,,3 end{array} right))

Ta có:

Vì R(B) = 2 nên R(A) = 2.

Ứng dụng:

Để kiểm tra tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của một hệ n vectơ, ta hoàn toàn có thể sắp những vectơ ấy thành những dòng của một ma trận A, rồi tìm hạng của A. Nếu R(A) = n thì hệ đó là một hệ độc lập tuyến tính, nếu R(A) < n thì hệ đó là một hệ phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ: Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ về sau: V = {(1,2,0,3), (2,1,-4,0), (-2,0,1,1)}

Giải

Ta lập ma trận

Suy ra: R(A) = 3. Vậy, V độc lập tuyến tính.

Để tìm một cơ sở và số chiều của không khí vectơ con sinh bởi một hệ vectơ, ta lập ma trận A gồm những dòng là những vectơ đó, rồi đưa A về dạng bậc thang. Những dòng không tầm thường của A tạo thành một cơ sở của không khí vectơ con sinh bởi hệ vectơ đó, và số dòng không tâm thường tối đa của A ở dạng bậc thang là số chiều của không khí sinh.

Ví dụ: Tìm một cơ sở và số chiều của không khí (leftlangle V rightrangle ) với V = {(1,-2,5,4), (2,-2,1,0), (3,4,0,2)}

Giải: Ta lập ma trận

Suy ra: R(A) = 3, nên (dim leftlangle V rightrangle =3)

Và một cơ sở của (leftlangle V rightrangle )là {(1;-2;5;4),(0;2;-9;-8).(0;0;1;1)} .