Chuyển đổi Laplace của phương trình vi phân

Phép chuyển đổi Laplace là một kỹ thuật toán học được sử dụng phổ thông để giải một phương trình vi phân. Nhiều vấn đề toán học được giải quyết và xử lý bằng phương pháp sử dụng các phép chuyển đổi. Ý tưởng là chuyển đổi vấn đề thành một vấn đề khác dễ giải quyết và xử lý hơn. Mặt khác, phép chuyển đổi nghịch đảo rất hữu ích để tính toán lời giải cho bài toán đã cho.

Để nắm vững hơn, tất cả chúng ta hãy giải một phương trình vi phân hàng đầu với sự trợ giúp của phép chuyển đổi Laplace,

Xét y’- 2y = e 3x và y (0) = -5. Tìm giá trị của L (y).

Bước trước nhất của phương trình có thể được giải với sự trợ giúp của phương trình tuyến tính:

L (y ‘- 2y] = L (e 3x )

L (y ‘) – L (2y) = 1 / (s-3)

(vì L (e ax ) = 1 / (sa))

L (y ‘) – 2s (y) = 1 / (s-3)

sL (y) – y (0) – 2L (y) = 1 / (s-3)

(Sử dụng tính chất tuyến tính của phép chuyển đổi Laplace)

L (y) (s-2) + 5 = 1 / (s-3) (Giá trị sử dụng của y (0) tức là -5 (đã cho))

L (y) (s-2) = 1 / (s-3) – 5

L (y) = (-5s + 16) / (s-2) (s-3)… .. (1)

ở đây (-5s + 16) / (s-2) (s-3) có thể được viết thành -6 / s-2 + 1 / (s-3) bằng phương pháp sử dụng phương pháp phân số từng phần

(1) ngụ ý L (y) = -6 / (s-2) + 1 / (s-3)

L (y) = -6e 2x + e 3x

Chức năng bước

Hàm bước thường được gọi là hàm Heaviside, và nó được khái niệm như sau:

uc( t ) = {01tôi f t < ctôi f t ≥ c

Hàm bước có thể nhận thêm các giá trị 0 hoặc 1. Nó giống như một công tắc nguồn bật và tắt. Các ký hiệu đại diện thay mặt cho những hàm Heaviside là u c (t) hoặc u (tc) hoặc H (tc)

Chuyển đổi Laplace song phương

Phép chuyển đổi Laplace cũng xuất hiện thể được khái niệm là phép chuyển đổi Laplace song phương. Đây còn được gọi là phép chuyển đổi Laplace hai mặt, có thể được thực hiện bằng phương pháp mở rộng các giới hạn của tích phân thành toàn bộ trục thực. Do đó, phép chuyển đổi Laplace đơn phương phổ thông trở thành một trường hợp đặc biệt quan trọng của phép chuyển đổi Laplace song phương, trong đó khái niệm hàm được chuyển đổi được nhân với hàm bậc Heaviside.

Phép chuyển đổi Laplace song phương được khái niệm là:

F( s ) =∫+ ∞- ∞e- s tf( t ) dt

Một cách khác để trình diễn phép chuyển đổi Laplace song phương là B {F}, thay vì F.

Chuyển đổi Laplace ngược

Trong phép chuyển đổi Laplace ngược, tất cả chúng ta được cung cấp (các) phép chuyển đổi F và được yêu cầu tìm hàm số mà tất cả chúng ta có lúc đầu. Chuyển đổi nghịch đảo của hàm F (s) được cho bởi:

f (t) = L -1 {F (s)}

Ví dụ, so với hai phép chuyển đổi Laplace, chẳng hạn F (s) và G (s), phép chuyển đổi Laplace ngược được xác định bởi:

L -1 {aF (s) + bG (s)} = a L -1 {F (s)} + bL -1 {G (s)}

Trong số đó a và b là hằng số.

Trong trường hợp này, tất cả chúng ta có thể thực hiện phép chuyển đổi nghịch đảo cho những phép chuyển đổi riêng lẻ và thêm các giá trị không đổi của chúng vào các vị trí tương ứng và thực hiện phép toán để nhận được kết quả.

Tích phân chuyển đổi

Nếu các hàm f (t) và g (t) là các hàm liên tục từng đoạn trên khoảng tầm [0, ∞), thì tích phân chập của f (t) và g (t) được cho là:

(f * g) (t) = 0 ∫ t f (tT) g (T) dT

Như, tích phân chập tuân theo thuộc tính, (f * g) (t) = (g *) (t)

Chúng ta có thể viết, 0 ∫ t f (tT) g (T) dT = 0 ∫ t f (T) g (tT) dt

Vì vậy, dữ kiện trên sẽ giúp chúng ta nhận được phép biến đổi nghịch đảo của tích các phép biến hình.

(tức là) L (f * g) = F (s) G (s)

L -1 {F (s) G (s)} = (f * g) (t).

Biến đổi Laplace trong lý thuyết xác suất

Trong lý thuyết xác suất thuần túy và ứng dụng, phép biến đổi Laplace được định nghĩa là giá trị kỳ vọng. Nếu X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất, giả sử f, thì biến đổi Laplace của f được cho dưới dạng kỳ vọng của:

L {f} (S) = E [e -sX ], được gọi là phép chuyển đổi Laplace của chính biến tình cờ X.

Các ứng dụng của Chuyển đổi Laplace

• Nó được sử dụng để chuyển đổi các phương trình vi phân phức tạp sang dạng đơn giản hơn có đa thức.
• Nó được sử dụng để chuyển đổi các đạo hàm thành nhiều biến miền và sau đó chuyển đổi các đa thức trở lại phương trình vi phân bằng phương pháp sử dụng phép chuyển đổi Laplace ngược.
• Nó được sử dụng trong ngành nghề viễn thông để gửi tín hiệu tới mức hai phía của phương tiện truyền thông. Ví dụ, lúc các tín hiệu được gửi qua điện thoại thông minh thì trước tiên chúng được chuyển đổi thành một sóng thay đổi theo thời kì và sau này được chồng lên phương tiện.
• Nó cũng được sử dụng cho nhiều nhiệm vụ kỹ thuật như Phân tích mạch điện, xử lý tín hiệu kỹ thuật số, mô hình hóa mạng lưới hệ thống, v.v.

Ví dụ về chuyển đổi Laplace

Các ví dụ sau đây dựa trên một số hàm cơ bản quan trọng của phép chuyển đổi Laplace.

Phương trình Laplace

Phương trình Laplace, một phương trình đạo hàm riêng cấp hai, rất hữu ích trong vật lý và toán học. Phương trình Laplace phát biểu rằng tổng các đạo hàm riêng cấp hai của f, hàm chưa chắc chắn, bằng 0 so với tọa độ Descartes. Phương trình Laplace hai chiều cho hàm f có thể được viết dưới dạng:

Phương trình Laplace cho tọa độ ba chiều có thể được trình diễn như sau: