1. Hình đa diện là gì?

Hình đa diện là hình học gồm các đa giác phẳng thỏa mãn các tính chất sau:

• Hai đa giác phân biệt chỉ có thể không có điểm chung, hoặc chỉ có một cạnh chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung. Có tức là, hình mà 2 đa giác không thuộc các trường hợp trên hoặc có nhiều hơn 1 trường hợp trong các trường hợp trên đều không là hình đa diện.

Ví dụ:

Hình trên đây không phải hình đa diện bởi hình tam giác và hình chữ nhật không thỏa mãn ĐK “không có điểm chung”. Cụ thể, 2 đa giác này có một điểm chung nhưng điểm nó lại không phải đỉnh chung.

• Mỗi cạnh của mọi đa giác đều là cạnh chung của đúng 2 đa giác.

Hình trên đây không phải hình đa diện bởi có một cạnh red color là cạnh chung của 4 mặt.

Một số hình đa diện thân thuộc học trò đã được nghe biết từ lớp 11 như: hình tứ diện, hình lăng trụ, hình chóp, hình hộp, hình lập phương, hình chóp cụt,…

2. Lý thuyết khối đa diện

2.1. Khối đa diện là gì?

Các em học trò đã từng được nghe biết khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp,… Đó là những khối đa diện. Vậy, khái niệm chung của khối đa diện là gì?

Khối đa diện được xác định là không gian miền trong của mỗi hình đa diện tạo thành. Tức là, mỗi hình đa diện sẽ có một khối đa diện tương ứng.

2.2. Đặc điểm, tính chất về khối đa diện

Một số đặc điểm và tính chất về khối đa diện mà học trò cần nhớ khi tiến hành làm các bài tập khối đa diện như sau:

Tính chất 1: Cho một khối tứ diện đều, ta có:

+ Đỉnh của một khối tứ diện đều khác là trọng tâm của rất nhiều mặt.

+ Trung điểm của mọi cạnh đây là các đỉnh của khối bát diện đều.

Tính chất 2: Cho khối lập phương, tâm các mặt của nó sẽ tạo thành 1 khối bát diện đều.

Tính chất 3: Cho khối bát diện đều, tâm các mặt của nó sẽ tạo thành một khối lập phương.

Tính chất 4: Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:

+ Ba đường chéo giao nhau tại vị trí trung điểm của mỗi đường.

+ Ba đường chéo vuông góc với nhau theo từng đôi một.

+ Ba đường chéo bằng nhau.

Tính chất 5: Một khối đa diện phải có tối thiểu 4 mặt.

Tính chất 6: Hình đa diện có tối thiểu 6 cạnh.

Tính chất 7: Không tồn tại đa diện có 7 cạnh.

2.3. Ví dụ về các khối đa diện

Một số khối đa diện thường gặp:

3. Khối đa diện lồi là gì?

Khối đa diện lồi được xác định bằng đoạn thẳng nối 2 điểm bất kì thuộc khối đa diện. Nếu đoạn thẳng đó nằm hoàn toàn trên khối đa diện thì đó là đa diện lồi.

Ví dụ như khối lăng trụ, khối chóp là các đa diện lồi:

Trái lại, trường hợp hình sau đây không phải đa diện lồi vì đoạn MN không thuộc trong khối đa điện:

4. Lý thuyết khối đa diện đều

4.1. Khái niệm

Khối đa diện đều là trường hợp đa diện đặc biệt quan trọng trong số các khối đa diện lồi. Để xác định khối đa diện đều cần thỏa mãn 2 ĐK sau đây:

• Mỗi mặt của khối đa diện là đa giác đều phải sở hữu p cạnh.

• Mỗi đỉnh đều là đỉnh chung của q mặt.

Như vậy ta được khối đa diện đều loại {p;q}.

4.2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?

Có 5 khối đa diện đều đã được chứng minh và có đặc điểm như bảng sau đây:

5. Cách phân chia và lắp ghép các khối đa diện

Khi phân chia, lắp ghép các khối đa diện, học trò cần lưu ý tới những điểm ngoài và điểm trong của khối đa diện.

• Những điểm không thuộc trong khối đa diện ta gọi là vấn đề ngoài, tập hợp những điểm nằm ngoài khối đa diện được gọi là miền ngoài.

• Những điểm thuộc trong khối đa diện nhưng không nằm trên viền bao ngoài hình đa diện được gọi là vấn đề trong của khối đa diện. Tập hợp những điểm trong khối đa diện tạo nên miền trong khối đa diện.

Cho khối đa diện (H) là phối hợp của hai khối đa diện (H1) và đa diện (H2) thỏa mãn:

• (H1) và (H2) không có điểm trong chung nào thì ta nói đa diện (H) phân chia được thành 2 khối đa điện (H1) và (H2).

• Có thể ghép hai khối (H1) và (H2) để hình thành được khối (H).

Ví dụ 1: Phân chia lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng mặt phẳng (A’BC), ta được hai khối đa diện mới là A’ABC và A’BCC’B’.

Ví dụ 2: Khối lập phương có thể được phân chia thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau?

Giải:

Bằng mặt phẳng (BDD’B’), ta chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ và lăng trụ BCD.B’C’D’.

+ Với khối ABD.A’B’D’, tuần tự dùng các mặt phẳng ( AB’D) và (AB’D’) chia làm ba khối tứ diện bằng nhau.

+ Tương tự với khối BCD.B’C’D’ cũng chia được thành ba khối tứ diện đều bằng nhau.

Vậy có tất cả 6 khối tứ diện bằng nhau được hình thành từ khối lập phương ban sơ.

6. Một số bài tập về các khối đa diện và phương pháp giải

Bài 1: Xét các hình sau, hình nào là hình đa diện?

Giải:

Hình đa diện là hình học tạo thành bởi hữu hạn các đa giác thỏa mãn đầy đủ hai tính chất sau:

• Hai đa giác bất kì có đặc điểm hoặc là không có điểm chung hoặc chỉ có một cạnh chung hoặc chỉ có một đỉnh chung.

• Mọi cạnh của đa giác đều là cạnh chung của duy nhất hai đa giác.

Như vậy, hình 2, 3, 4 đều không thỏa mãn tính chất số 2. Do đó ta chọn A.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC. Đáy là ABC là tam giác vuông cân ở đỉnh B, AC =$asqrt{2}$, SA tạo thành góc 90 độ với mặt phẳng (ABC), SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải:

Bài 3: Cho hình hộp đứng có những cạnh AB = 3a, AA’ = 2a, AD = 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’

Bài 4: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có kích thước AB = a; AC = 2a và $widehat{BAC}$= 120º, mặt phẳng (A’BC) phù hợp với đáy tạo thành một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Bài 5: Xét các hình sau đây, hình nào không phải là hình đa điện?

Giải:

Vận dụng các tính chất của hình đa diện:

+ Mỗi cạnh đều là cạnh chung bất kì của duy nhất hai mặt.

+ Hai mặt bất kì hoặc có một cạnh chung, hoặc 1 định chung, hoặc là không có điểm chung nào.

Ta xét thấy: Hình 4 không thỏa mãn tính chất 2 (hai mặt bất kì có một điểm chung – nhưng điểm đó không phải là đỉnh)

Như vậy, hình D không phải hình đa diện.

Đa diện là phần sẽ xuất hiện với tần suất khá nhiều trong bài thi tốt nghiệp trung học phổ thông QG. Trong video sau đây, thầy Tài sẽ chữa 20 câu được trích ra từ đề thi các năm và đề thi thử. Các em lưu ý theo dõi bài học kinh nghiệm cùng thầy nhé!

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các bài tập tiêu biểu về khối đa diện. Để thành thục hơn về khối đa diện nói riêng và các tri thức hình học trung học phổ thông nói chung, các em học trò hay truy cập website giáo dục Vuihoc.vn để trang bị thêm nhiều tri thức có ích hơn nữa nhé!